Точка S равноудалена от вершин квадрата ABCD. Докажите перпендикулярность плоскостей SAB и ABC.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей SAB и ABC, нам нужно понять свойство, которое будет выполняться в обоих плоскостях.

Дано, что точка S равноудалена от вершин квадрата ABCD. Давайте обозначим эти равные расстояния как r. То есть, расстояние от точки S до вершины A равно r, расстояние от точки S до вершины B тоже равно r и так далее.

Перейдем к доказательству. Мы знаем, что плоскость SAB проходит через три точки: S, A и B. И аналогично, плоскость ABC проходит через три точки: A, B и C. Таким образом, эти плоскости имеют общую сторону AB.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей, мы можем воспользоваться свойством, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости, проходящим через их точки пересечения.

Давайте возьмем прямую, проходящую через точки S и B. Из предположения, что точка S равноудалена от вершин квадрата ABCD, мы можем сделать вывод, что эта прямая будет перпендикулярна стороне AB квадрата ABCD.

Поэтому, прямая SB будет перпендикулярна стороне AB и будет лежать в плоскости ABC, так как она проходит через две точки этой плоскости.

Теперь мы можем применить это свойство к оставшимся двум сторонам квадрата ABCD и получить вывод, что прямая SB также будет перпендикулярна сторонам BC и CD. Следовательно, прямая SB будет перпендикулярна плоскости ABC.

Таким образом, мы оказались в ситуации, когда прямая SB одновременно перпендикулярна как плоскости SAB, так и плоскости ABC. Из этого следует, что плоскости SAB и ABC тоже перпендикулярны друг другу.

Вот так мы доказали перпендикулярность плоскостей SAB и ABC, используя свойства равноудаленности точки S от вершин квадрата ABCD.