Точка M и N являются соответственно серединами сторон CD и BC параллелограмма ABCD. Докажите что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. ​

Для решения данного вопроса, давайте вначале вспомним некоторые свойства параллелограмма.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны.
Данное свойство можно записать следующим образом: AB = DC и BC = AD.

2. В параллелограмме противоположные углы равны.
То есть, угол BAC будет равен углу CDA, а угол ABC будет равен углу CDA и т.д.

Теперь перейдем к данной задаче. Нам нужно доказать, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

По определению, точка M - середина стороны CD, а точка N - середина стороны BC. Это означает, что отрезки BM и DM равны, а отрезки AN и CN также равны.

Таким образом, у нас имеем следующую информацию:
- AB = DC (свойство 1), BC = AD (свойство 1), BM = DM, AN = CN.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. В данном треугольнике мы знаем, что сторона AB равна стороне DC (по свойству 1), а также у нас есть равные отрезки AN и CN.
Значит, треугольник ABC будет равнобедренным треугольником. Следовательно, угол ABC равен углу ACB.

Теперь рассмотрим треугольник BDA. В данном треугольнике мы знаем, что сторона BC равна стороне AD (по свойству 1), а также у нас есть равные отрезки BM и DM.
Значит, треугольник BDA будет равнобедренным треугольником. Следовательно, угол BDA равен углу ADB.

Из равенства углов ABC и ACB следует, что угол BAC равен углу CDA.

Из равенства углов BDA и ADB следует, что угол BDA будет равен углу ADB.

Таким образом, у нас получается следующая информация:
- угол BAC равно углу CDA,
- угол BDA равно углу ADB.

Исходя из этих равенств, прямые AM и AN, проходящие через эти углы, будут делить диагональ BD на три равные части.

В заключение, мы доказали, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части, используя свойства параллелограмма и равенства углов в данном геометрическом объекте.