Сложение и разность векторов

Векторы: , , , ,

Нулевой вектор:

Координаты векторов: , , , , ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Если точка начала какого-либо вектора , то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 1).

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

ТЕОРЕМА 1 От любой точки можно отложить вектор единственный .

Существование: Имеем два следующих случая:

Вектор - нулевой.

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором .

Вектор не является нулевым.

Пусть точка является началом вектора , а точкой - конец вектора . Проведем через точку прямую параллельную вектору . Будем откладывать на прямой отрезки и . Рассмотрим векторы и . Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором (рис.2)

Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

СУММОЙ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется третий вектор , проведенный из начала к концу , если начало вектора совпадает с концом вектора .

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

СУММОЙ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ ,, называется вектор , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

сумма нескольких векторов

КОММУТАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ

АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ

СУММА ВЕКТОРОВ В КООРДИНАТАХ

При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора выполняется равенство

Для произвольных точек

и

справедливо следующее равенство

ЗАМЕЧАНИЕ Таким также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

сумма нескольких векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

РАЗНОСТЬЮ ДВУХ ВЕКТОРОВ и называется вектор при условии:

, если

РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ и равна сумме вектора и противоположного вектора :

вычитание векторов

РАЗНОСТЬ ДВУХ ОДИНАКОВЫХ ВЕКТОРОВ равна НУЛЕВОМУ ВЕКТОРУ :