Решите задачи.
1) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 24 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
2) Один из углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
3) В остроугольном треугольнике MNP биссектриса <М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой

чдвдут вддввь у у дввьвь ввлв вдвв ВДВ вдсш

Добрый день! По вашей просьбе, я объясню решение задач.

1) Дано: один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 24 см. Нужно найти гипотенузу и меньший катет.

Для начала, обозначим гипотенузу буквой "а", а меньший катет - буквой "в". Используем теорему Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данной задаче у нас есть прямой угол, поэтому гипотенуза является наибольшей стороной. Меньший катет можно обозначить как "в", а больший катет, как "с".

По теореме Пифагора:

а^2 = в^2 + с^2

Получается еще одно уравнение:

а - в = 24

Для решения системы уравнений, мы можем сначала возвести оба уравнения в квадрат:

(а - в)^2 = (24)^2

а^2 - 2ав + в^2 = 576

Заменяем а^2 с в^2 по формуле Пифагора:

(в^2 + с^2) - 2ав + в^2 = 576

2в^2 - 2ав + с^2 = 576

Мы знаем, что один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов. Это значит, что с^2 = 3*в^2. Заменяем это в уравнение:

2в^2 - 2ав + 3в^2 = 576

5в^2 - 2ав = 576

Теперь у нас есть уравнение только с двумя переменными. Давайте решим его.

Я предлагаю начать с замены а = в + 24, поскольку у нас есть уравнение, которое связывает a и в.

Теперь у нас есть:

5в^2 - 2(в+24)в = 576

5в^2 - 2в^2 - 48в = 576

3в^2 - 48в - 576 = 0

Мы можем разделить все на 3, чтобы упростить уравнение:

в^2 - 16в - 192 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью разложения на множители или квадратного корня. Путем факторизации можно представить это квадратное уравнение в виде (в - 24)(в + 8), чтобы получить:

(в - 24)(в + 8) = 0

Это означает, что в может быть либо 24, либо -8 (поскольку у нас не может быть отрицательной длины).

Если в равно 24, тогда а будет:

а = в + 24 = 24 + 24 = 48

Таким образом, гипотенуза равна 48 см, а меньший катет равен 24 см.

Итак, ответ: гипотенуза равна 48 см, меньший катет равен 24 см.

2) Дано: один из углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Нужно найти гипотенузу и меньший катет.

Обозначим меньший угол как "а" и больший угол как "2а". Так как сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см, мы можем записать это как уравнение:

гипотенуза + меньший катет = 42

Обозначим гипотенузу как "х" и меньший катет как "у". Мы можем записать это в виде уравнения:

х + у = 42

Мы также знаем, что угол "а" в два раза меньше угла "2а". То есть:

а + 2а = 90 (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов)

3а = 90

а = 30

Теперь мы можем найти гипотенузу, используя тригонометрический косинус:

cos(2а) = у / х

cos(2*30) = у / х

cos(60) = у / х

1/2 = у / х

У нас есть два уравнения:

х + у = 42

у = (1/2)х

Мы можем заменить у в первом уравнении:

х + (1/2)х = 42

(3/2)х = 42

Умножим оба выражения на (2/3):

х = 42 * (2/3)

х = 28

Теперь найдем у:

у = (1/2) * 28

у = 14

Таким образом, гипотенуза равна 28 см, а меньший катет равен 14 см.

Итак, ответ: гипотенуза равна 28 см, меньший катет равен 14 см.

3) Дано: в остроугольном треугольнике MNP биссектриса <М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Нужно найти расстояние от точки О до прямой.

Давайте обозначим расстояние от точки О до прямой как "х". Поскольку треугольник MNP остроугольный, биссектриса делит противолежащий угол на два равных угла.

Мы также знаем, что треугольник MNO прямоугольный (биссектриса делит угол на две равные части). Это означает, что OC будет являться меньшим катетом, а NK - гипотенузой.

Опять же, мы можем использовать теорему Пифагора:

NK^2 = OC^2 + NO^2

Теперь мы можем записать уравнение, используя данную информацию о расстоянии ОК:

NK^2 = (OC + 9)^2 + NO^2

Также у нас есть второе уравнение, связанное с биссектрисой:

NK/NO = CK/CO

BC / CO = CK / CO

BC = CK

Поскольку ОК = CK = 9 см, мы можем записать уравнение:

NK = BC + CK = BC + 9

Теперь мы можем заменить NK в первом уравнении:

(BC + 9)^2 = (OC + 9)^2 + NO^2

BC^2 + 18BC + 81 = OC^2 + 18OC + 81 + NO^2

Обратите внимание, что BC^2 и OC^2 равны, так как мы используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ОСН (NO - гипотенуза, ОС и OC - катеты).

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной:

18BC = 18OC + NO^2

Нам необходимо найти расстояние х от точки О до прямой. Обозначим расстояние ОС как "у". Тогда расстояние BC также будет равно "у", поскольку это прямой угол.

Теперь у нас есть уравнения:

у = 9 (по условию)

18y = 18OC + NO^2

Мы знаем, что NO равно расстоянию ОС, что равняется "у". Мы также знаем, что OC равно "у - х". Подставим эти значения:

18y = 18(у - х) + у^2

18y = 18у - 18х + у^2

0 = - 18х + у^2

Поскольку у = 9, мы можем записать:

0 = - 18х + 9^2

0 = - 18х + 81

18х = 81

х = 81 / 18

х = 4.5

Таким образом, расстояние от точи О до прямой равно 4.5 см.

Итак, ответ: расстояние от точки О до прямой равно 4.5 см.

Это подробное решение задач, которые вы предложили. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.