Решить задачи :
1) В четырехугольнике два противоположных угла прямые, а его диагонали перпендикулярны друг другу. Докажите, что одна из этих диагоналей делит другую пополам.
2) В прямоугольном треугольнике острый угол равен 15 градусам, а гипотенуза равна 1. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.​

1) Для начала, давайте вспомним определение прямого угла - это угол, который равен 90 градусам. Также, давайте обозначим данную задачу буквами.
Пусть ABCD - четырехугольник, где углы BAD и BCD являются прямыми углами.

Также, пусть AC и BD - диагонали четырехугольника ABCD, и они перпендикулярны друг другу.

Нам нужно доказать, что одна из диагоналей делит другую пополам.

Для этого, давайте предположим, что это не так. Допустим, что диагональ AC не делит диагональ BD пополам.

Значит, пусть точка M - середина диагонали BD, и пусть точка N - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Так как M - середина диагонали BD, то BM равняется MD.

Также, так как AC и BD перпендикулярны друг другу, то угол BAN равен 90 градусам.

Так как AM и CM являются диагоналями четырехугольника ABCD, то у них также должны быть противоположные прямые углы.

Пусть углы AMB и CMD являются прямыми углами.

Так как BM равняется MD, то у треугольников ABM и CDM есть две стороны, равные друг другу (BM и MD), и углы AMB и CMD, которые равны.

Поэтому, треугольники ABM и CDM равны друг другу по стороне-стороне-углу.

По свойству равных треугольников, соответствующие им углы и стороны равны.

Так как AM и CM - стороны этих равных треугольников, то AM равняется CM.

Это значит, что точка M, являющаяся серединой диагонали BD, также является серединой диагонали AC.

Таким образом, мы доказали, что если в четырехугольнике два противоположных угла прямые, а его диагонали перпендикулярны друг другу, то одна из диагоналей делит другую пополам.

2) Теперь рассмотрим вторую задачу.

Давайте обозначим данный треугольник буквами.
Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол BAC является острым углом, а гипотенуза BC равна 1.

Нам нужно найти высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.

Выберем точку H на гипотенузе BC, так чтобы отрезок AH был высотой треугольника.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора у нас есть следующее соотношение:

(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2,

где AB - катет треугольника, BC - гипотенуза, AC - другой катет треугольника.

Так как гипотенуза BC равна 1, можем записать:

(AB)^2 + 1 = (AC)^2.

Также, так как угол BAC равен 15 градусам, у нас есть следующее:

tg(BAC) = AB / BC,

tg(15) = AB / 1,

tg(15) = AB.

Теперь мы можем записать предыдущее уравнение в следующем виде:

(tg(15))^2 + 1 = (AC)^2.

Далее, давайте решим это уравнение для AC.

(tg(15))^2 + 1 = (AC)^2,

tg(15))^2 = (AC)^2 - 1,

tg(15))^2 = (AC + 1)(AC - 1).

Заметим, что AC - 1 должно быть положительным, так как это длина стороны треугольника.

Тогда мы можем записать:

AC - 1 = tg(15),

AC = tg(15) + 1.

Теперь мы знаем длину стороны AC.

Для нахождения высоты треугольника, нам нужно найти длину отрезка AH.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, у нас есть следующее соотношение:

(BC)^2 = (AH)^2 + (BH)^2.

Подставляем известные значения:

(1)^2 = (AH)^2 + (BH)^2.

Так как AH - высота треугольника, то BH - сторона треугольника.

Берем сторону AC, так как она не является стороной, выходящей из острого угла.

Таким образом, длина BH равна AC, то есть:

BH = AC = tg(15) + 1.

Теперь мы можем записать уравнение для нахождения высоты треугольника:

(1)^2 = (AH)^2 + (tg(15) + 1)^2.

(1)^2 = (AH)^2 + tg(15)^2 + 2*tg(15) + 1.

1 = (AH)^2 + tg(15)^2 + 2*tg(15) + 1.

0 = (AH)^2 + tg(15)^2 + 2*tg(15).

(AH)^2 = - tg(15)^2 - 2*tg(15).

Так как мы ищем длину, то должны взять положительный корень:

AH = sqrt(- tg(15)^2 - 2*tg(15)).

Вот наш ответ: высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна sqrt(- tg(15)^2 - 2*tg(15)).