Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно гипотенузе. найдите площадь поверхности и объем тела вращения.

Добрый день! Давайте посмотрим на задачу.

У нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник. Это значит, что у него два равных катета, а острый угол находится напротив гипотенузы. Обозначим длину катета как "а".

Нам нужно найти площадь поверхности и объем тела, которое образуется при вращении этого треугольника вокруг оси, проходящей через вершину острого угла и перпендикулярно гипотенузе.

1. Начнем с площади поверхности.
Площадь поверхности можно найти, используя так называемую формулу вращения вокруг оси. Она состоит из двух частей: боковой поверхности и двух оснований.

Основание тела вращения - это окружность, которую образует вершина острого угла при вращении треугольника вокруг оси. Радиус этой окружности равен гипотенузе треугольника, так как ось проходит через вершину острого угла. Длина гипотенузы равна √(a^2 + a^2) = √(2a^2) = a√2.

Тогда площадь основания равна S_осн = πr^2 = π(a√2)^2 = 2πa^2.

Боковая поверхность тела вращения - это поверхность, которая образуется при вращении равнобедренного треугольника вокруг оси. Чтобы найти площадь этой поверхности, нужно найти длину дуги, которую образует катет а при вращении на 360 градусов.

Длина дуги можно найти с помощью формулы Длина дуги = длина окружности * (угол поворота / 360 градусов).
Угол поворота равен 360 градусов, а длина окружности равна периметру треугольника, так как при вращении этот периметр образует длину дуги.

Периметр равнобедренного треугольника равен a + a + гипотенуза = 2a + a√2.
Длина дуги равна 2πr * (угол поворота / 360 градусов) = 2π(a√2) * (360 / 360) = 2πa√2.

Тогда площадь боковой поверхности равна S_бок = длина дуги * высоту треугольника = 2πa√2 * a = 2a^2π√2.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей основания и боковой поверхности: S_пов = S_осн + S_бок = 2πa^2 + 2a^2π√2 = 2a^2(1 + √2)π.

2. Теперь перейдем к объему тела вращения.
Объем тела вращения можно найти, используя также формулу вращения вокруг оси. Он также состоит из двух частей: объема основания и объема вращения.

Объем основания равен V_осн = πr^2 * высота треугольника = π(a√2)^2 * a = 2a^3π.

Если вращение осуществляется на 360 градусов, то объем вращения равен 2πr^2 * высота треугольника = 2π(a√2)^2 * a = 4a^3π.

Тогда объем тела вращения равен V_тела = V_осн + V_вращение = 2a^3π + 4a^3π = 6a^3π.

Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна 2a^2(1 + √2)π, а объем тела вращения равен 6a^3π.