Рассмотрим отрезок АК, длина которого равна 8см. Построено две окружности: первая – с центром в точке A, а вторая – с центром в точке К. Их радиусы, соответственно, равны 4 см и 6 см. Сколько общих точек имеют окружности?

Для решения данной задачи нужно воспользоваться понятием общих точек окружностей.

Первая окружность с центром в точке A и радиусом 4 см обозначена как окружность C1.
Вторая окружность с центром в точке К и радиусом 6 см обозначена как окружность C2.

Для того чтобы найти количество общих точек окружностей, нам необходимо найти точки пересечения этих окружностей.

Проведем радиусы каждой окружности, их концы соединим прямой. Назовем точку пересечения окружностей М.

Таким образом, мы получаем треугольник АМК, в котором известны стороны АК, АМ и МК.

Зная длину сторон АК, АМ и МК, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти углы этого треугольника. Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),

где c - длина стороны противолежащая углу С, a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.

Применим данную формулу для вычисления угла МАК:
АМ^2 = 8^2 + 4^2 - 2*8*4*cos(МАК)
АМ^2 = 64 + 16 - 64*cos(МАК)
АМ^2 = 80 - 64*cos(МАК)

Теперь выразим косинус угла МАК:
cos(МАК) = (80 - АМ^2)/64

Таким образом, мы получили значение косинуса угла МАК.

Аналогично можем вычислить угол МКА, используя известные значения сторон треугольника.

Теперь на основании полученных значений углов МАК и МКА, мы знаем, что треугольник АМК является неравнобедренным треугольником.

Так как неравнобедренный треугольник имеет только одну высоту, и она проходит через вершину, то треугольник АМК имеет одну высоту, которая проходит через точку М.
Высота треугольника является перпендикуляром, проведенным из вершины треугольника (М in this case) к основанию (AK).

Из определения окружности следует, что радиус окружности, проведенный к перпендикуляру из центра окружности, равен длине этого перпендикуляра.

Таким образом, радиус окружности C2 будет от вершины М до основания AK.
Длина этого радиуса будет равна высоте треугольника АМК.

У нас есть радиус C2, равный 6 см, а также катеты прямоугольного треугольника АМК - АМ и МК. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты треугольника.

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АМК:
АК^2 = АМ^2 + МК^2
8^2 = АМ^2 + МК^2
64 = АМ^2 + МК^2

Теперь мы знаем, что сумма квадратов катетов треугольника АМК равна 64.

Следовательно, высота треугольника равна корню из 64, то есть 8 см.

Получается, что радиус окружности C2, проведенный из точки М (центра окружности C2), будет равен 8 см.

Теперь у нас есть информация о радиусе окружности C1 (4 см) и радиусе окружности C2 (8 см).

Количество общих точек этих окружностей можно найти, опираясь на следующее правило: если две окружности имеют одну общую точку, то радиусы этих окружностей, проведенные к этой точке, являются катетами прямоугольного треугольника, а гипотенуза этого треугольника равна сумме радиусов (в нашем случае это R1+R2).

В нашем случае, сумма радиусов окружностей C1 и C2 равна 4 см + 8 см = 12 см.

Очевидно, что у нас есть прямоугольный треугольник с катетами равными радиусам окружностей и гипотенузой, равной сумме радиусов этих окружностей.

Так как радиус окружности C2 в 2 раза больше, чем радиус окружности C1, то длина гипотенузы прямоугольного треугольника также будет в 2 раза больше, чем длина радиуса C1. Соответственно, гипотенуза равна 8 см × 2 = 16 см.

Таким образом, мы знаем, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 см.

Сравнивая это суммой радиусов окружностей C1 и C2 (12 см), мы можем заключить, что одна общая точка находится на прямой (основании треугольника АК), и две другие общие точки находятся по разные стороны от прямой (лежат на окружностях C1 и C2).

Таким образом, окружности имеют 3 общие точки.

Ответ: окружности имеют 3 общие точки.