Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 4 см, а одно из оснований на 6 см больше другого. найдите площадь трапеции.

Обозначим трапецию АВСD.  АВ перпендикулярна ВС и АD. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен её высоте. Так как трапеция прямоугольная, ее высота равна стороне АВ=2r=8(см)

Примем меньшее основание равным х.

Опустим из вершины С высоту СН на большее основание. Тогда АН=ВC=х, АD=х+6, НD=6. 

По т.Пифагора из ∆ СНD 

СD=√(CH²+HD²)=√(64+36=10 (см)

  Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

Трапеция - четырехугольник⇒

ВС+АD=АВ+СD

х+х+6=8+10

2х=12

х=6⇒ BC=6 см, AD=12 см

Площадь трапеции равна произведению  высоты на полусумму оснований. 

S=8•((6+12):2=72 (см²)