Параллельные стороны трапеций равны a и b. найдите длину отрезка параллельную сторонам a и b которая делит площадь трапеций пополам.

Если обозначить длину искомого отрезка за c, получим следующее равенство:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(H-h)/2
где h - высота трапеции со сторонами a и c, H - высота исходной трапеции со сторонами a и b

с другой стороны, рассматривая подобные треугольники, нетрудно показать, то (b-a)/(с-a) = H/h, то есть H = h*(b-a)/(с-a)

подставим H в первое уравнение:
(a+c)*h/2 = (c+b)*(h*(b-a)/(с-a)-h)/2
из чего (выносом h) следует
(a+c) = (c+b)*((b-a)/(с-a)-1)
или приведением к общему знаменателю суммы в скобках
(a+c) = (c+b)*(b-a-с+a)/(с-a)
или
(с-a)*(a+c) = (c+b)*(b-с)
или
с^2 - a^2 = b^2 - с^2
или
2*с^2 = b^2 + a^2
или
с = корень((b^2 + a^2)/2) - длина промежуточного отрезка равна корню из суммы квадратов a и b деленной на два - или среднеквадратичное из длин оснований

например a = 8, b = 6, с = корень((64+36)/2) = корень(50)