Основания равнобокой трапеции относятся как 1: 5 а радиус окружности вписанной в трапецию равен 7,5 см найдите стороны трапеции​

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать свойство равнобокой трапеции, которое гласит: сумма длин оснований равнобокой трапеции равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на тангенс половины угла при вершине трапеции.

В данной задаче известны следующие данные:
- отношение длин оснований равнобокой трапеции: 1:5 (можем представить как x:5x, где x - длина меньшего основания);
- радиус вписанной окружности: 7,5 см.

Пусть х будет длиной меньшего основания (одного из оснований), тогда большее основание будет равно 5х.

Используем свойство равнобокой трапеции:

5x + x = 2 * 7,5 * tg(α/2),

где α - угол при вершине равнобокой трапеции.

Приведем уравнение к более простому виду:

6x = 15 * tg(α/2).

Теперь найдем тангенс половины угла при вершине трапеции. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из катетов - половина угла при вершине равнобокой трапеции, а другой катет - радиус вписанной окружности.

По определению тангенса:

tg(α/2) = противолежащий катет / прилежащий катет.

Из данного треугольника получаем:

tg(α/2) = 7,5 / x.

Подставляем этот результат обратно в уравнение:

6x = 15 * (7,5 / x).

Раскрываем скобки:

6x = 112,5 / x.

Теперь переместим все члены уравнения на одну сторону:

6x^2 - 112,5 = 0.

Осталось решить полученное квадратное уравнение.

Для начала можно упростить его, поделив оба члена на 6:

x^2 - 18,75 = 0.

Теперь приведем его к стандартному виду:

x^2 = 18,75.

Извлекаем корень из обеих сторон:

x = ±√18,75.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

x = √18,75.

Теперь, чтобы найти длину большего основания (5x), умножим длину меньшего основания на 5:

5x = 5 * √18,75.

Вычисляем значение √18,75:

√18,75 ≈ 4,330.

Итак, получаем значения сторон трапеции:

Длина меньшего основания: x ≈ √18,75 ≈ 4,330 см.
Длина большего основания: 5x ≈ 5 * √18,75 ≈ 5 * 4,330 ≈ 21,650 см.