Определить объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания =10 см, боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов.

ΔАВС. ВМ- высота, медиана и биссектриса. ∠МВС=30°, СМ=0,5ВС=5 см.
ВМ²=ВС²-СМ²=100-24=75;
ВМ=√75=5√3.
Точка О разделила МВ на части ОМ : ОВ=1 : 2.
ОВ=2·5√3/3=10√3/3.
ΔКОВ - прямоугольный. равнобедренный. ОК=ОВ. Высота пирамиды ОК=10√3/3 см.
Площадь основания пирамиды S=а²√3/4=100√3/4=25√3.
Объем пирамиды V=S·h/3=(25√3)·(10√3/3)/4=250/4=62,5 см³.