Около правильной четырехугольной призмы с объемом 256см^3 и высотой 4 см описана сфера. Найдите площадь сферы

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь вам решить эту задачу.

Для начала, давайте разберемся, что такое объем четырехугольной призмы и как его вычислить. Объем - это количество пространства, занимаемого фигурой. Для правильной четырехугольной призмы формула для вычисления объема выглядит следующим образом:

Объем = Площадь основания * Высота

В нашем случае, известен объем призмы (256 см^3) и высота (4 см). Чтобы найти площадь сферы, мы должны сначала найти площадь основания призмы, а затем использовать эту информацию для вычисления площади сферы.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.
Мы знаем, что объем призмы равен 256 см^3 и высота равна 4 см. Воспользуемся формулой для объема четырехугольной призмы:

256 = Площадь основания * 4

Делим обе стороны уравнения на 4, чтобы выразить площадь основания:

Площадь основания = 256 / 4
Площадь основания = 64 см^2

Таким образом, площадь основания призмы равна 64 см^2.

Шаг 2: Найдем радиус сферы.
Мы знаем, что стороны основания призмы являются диагоналями оснований правильного четырехугольника. Так как у нас четырехугольник, то диагонали равны.

Для нахождения радиуса сферы, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю основания и высотой призмы. По теореме Пифагора:

(Половина стороны основания)^2 + Высота^2 = Радиус^2

В нашем случае, высота равна 4 см и площадь основания равна 64 см^2. Пусть сторона основания четырехугольника равна a, тогда мы имеем:

(0.5a)^2 + 4^2 = Радиус^2
0.25a^2 + 16 = Радиус^2

Так как у нас правильный четырехугольник, мы знаем, что все его стороны равны. Поэтому, a будет равно 4 см. Подставим это значение в уравнение:

0.25 * 4^2 + 16 = Радиус^2
0.25 * 16 + 16 = Радиус^2
4 + 16 = Радиус^2
20 = Радиус^2

Теперь извлекаем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

√20 = √Радиус^2
√20 = Радиус

Радиус сферы равен √20 см.

Шаг 3: Найдем площадь сферы.
Площадь сферы можно найти с использованием формулы:

Площадь сферы = 4π * Радиус^2

Подставляя значение радиуса (√20) в данную формулу:

Площадь сферы = 4π * (√20)^2
Площадь сферы = 4π * 20
Площадь сферы = 80π см^2

Так что площадь сферы равна 80π см^2.

Надеюсь, я подробно и понятно объяснил решение этой задачи и вы поняли процесс вычислений. Если у вас есть еще вопросы, я с радостью помогу вам!