Некоторый многоугольник удалось поместить внутрь квадрата, периметр которого в 7 раз меньше. каково наименьшее число сторон такого многоугольника?

Если многоугольник может быть невыпуклым, и может самопересекаться, то решение следующее: 

Так как в единичном квадрате наибольшее расстояние между двумя точками равно sqrt(2), то каждая сторона многоугольника меньше sqrt(2). Периметр квадрата 4, а многоугольника 28. Тогда у него не меньше [28/sqrt(2)]+1=20 сторон.

Такой многоугольник можно получить, если рассмотреть ломаную, каждое звено которой немного меньше диагонали квадрата, и равно 1.4. Двадцатое звено заканчивается там. где начинается первое.