Найти внутренние углы треугольника и координаты его вершин, если стороны треугольника заданы уравнениями
3x-y+6=0, x-4y+4=0, x+2y=0

Давайте разберемся сначала с нахождением вершин треугольника.

У нас заданы уравнения трех прямых, которые являются сторонами треугольника. Чтобы найти координаты вершин, нужно решить систему уравнений, составленную из данных уравнений.

Начнем с первого уравнения: 3x - y + 6 = 0. Чтобы найти координаты вершины треугольника, которая лежит на этой прямой, нам нужно найти значения x и y, удовлетворяющие этому уравнению.

Для этого приведем это уравнение к виду y = 3x + 6. Таким образом, мы получаем, что y = 3x + 6.

Теперь возьмем второе уравнение: x - 4y + 4 = 0. Аналогично, приведем его к виду y = (1/4)x + 1. Итак, мы имеем y = (1/4)x + 1.

Наконец, возьмем третье уравнение: x + 2y = 0. Приведем его к виду y = -(1/2)x. Выходит, y = -(1/2)x.

Таким образом, у нас есть три уравнения, представляющие стороны треугольника: y = 3x + 6, y = (1/4)x + 1 и y = -(1/2)x.

Теперь перейдем к поиску точек пересечения прямых, чтобы найти координаты вершин треугольника. Для этого можно решить систему двух уравнений. Рассмотрим первую и вторую прямые:

y = 3x + 6 (1)
y = (1/4)x + 1 (2)

Чтобы найти точку пересечения этих прямых, решим их систему методом подстановки.

Воспользуемся уравнением (1) и подставим его значение для y в уравнение (2):

3x + 6 = (1/4)x + 1.

Решим это уравнение для x:

3x - (1/4)x = 1 - 6,
(12/4)x - (1/4)x = -5,
(11/4)x = -5,
x = -5 * (4/11),
x = -20/11.

Теперь, чтобы найти значение y, подставим найденное значение x обратно в уравнение (1):

y = 3 * (-20/11) + 6,
y = -60/11 + 66/11,
y = 6/11.

То есть, координаты первой вершины треугольника равны (x, y) = (-20/11, 6/11).

Аналогичным образом, найдем точку пересечения первой и третьей прямых:

y = 3x + 6 (1)
y = -(1/2)x (3)

Подставим (1) в (3):

3x + 6 = -(1/2)x.

Решим это уравнение для x:

3x + (1/2)x = -6,
(6/2)x + (1/2)x = -6,
(7/2)x = -6,
x = -6 * (2/7),
x = -12/7.

Теперь, чтобы найти значение y, подставим найденное значение x обратно в уравнение (1):

y = 3 * (-12/7) + 6,
y = -36/7 + 42/7,
y = 6/7.

Итак, координаты второй вершины треугольника равны (x, y) = (-12/7, 6/7).

Наконец, найдем точку пересечения второй и третьей прямых:

y = (1/4)x + 1 (2)
y = -(1/2)x (3)

Подставим (2) в (3):

(1/4)x + 1 = -(1/2)x.

Решим это уравнение для x:

(1/4)x + (1/2)x = -1,
(1/4 + 2/4)x = -1,
(3/4)x = -1,
x = -1 * (4/3),
x = -4/3.

Теперь, чтобы найти значение y, подставим найденное значение x обратно в уравнение (2):

y = (1/4) * (-4/3) + 1,
y = -4/12 + 12/12,
y = 8/12.

То есть, координаты третьей вершины треугольника равны (x, y) = (-4/3, 8/12).

Таким образом, мы нашли координаты всех трех вершин треугольника: (-20/11, 6/11), (-12/7, 6/7) и (-4/3, 8/12).

Теперь перейдем к нахождению внутренних углов треугольника.

Для этого воспользуемся формулами тригонометрии. Внутренние углы треугольника обозначим как A, B и C, а координаты вершин треугольника как (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃).

Найдем длины сторон треугольника с помощью формулы расстояния между двумя точками:

AB = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),
BC = sqrt((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²),
AC = sqrt((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²).

Теперь, чтобы найти внутренние углы треугольника, воспользуемся формулами тригонометрии:

cos A = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC),
cos B = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC),
cos C = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC).

Используем косинусную формулу, чтобы найти значение каждого угла. Для этого возьмем обратный косинус найденного значения:

A = arccos((BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC)),
B = arccos((AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)),
C = arccos((AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)).

Подставим найденные значения сторон треугольника в эти формулы и выразим углы в радианах.

Итак, мы получили координаты вершин треугольника и внутренние углы треугольника.