Найти объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 3см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45º.

ответ: V=2,25см³

Объяснение: в основании правильной трёхугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Обозначим его вершины А В С, вершину пирамиды Д. Найдём площадь основания по формуле: S=a²√3/4, где а- сторона треугольника.

S=3²√3/4=9√3/4см²

Проведём в основании две медианы АН и ВН1. Они пересекаются в точке 0, которая делит медианы в отношении 2:1, начиная от вершины угла. Так как треугольник равносторонний то медианы также являются высотами треугольника и теперь можно вычислить высоту через площадь основания, следуя формуле площади: S=½×a×h, где а- сторона, а h - высота проведённая к этой стороне:

По формуле обратной формуле площади:

h=9√3/4÷3/½=3√3/4×2=3√3/2см

Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и, зная полную величину высоты, составим уравнение:

2х+х=3√3/2

3х=3√3/2

х=3√3/2÷3

х=√3/2

Итак: ОН=√3/2, тогда АО=√3/2×2=√3см

Рассмотрим ∆АДО. В нём АО и ДО - катеты, а АД- гипотенуза. Если <ДАО=45°, то <АДО=90-45=45° (сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°). Острые углы в основании равны, поэтому ∆ПДО- равнобедренный и АО=ДО=√3см

Теперь найдём объем пирамиды зная площадь основания и высоту пирамиды ДО: V=⅓×Sосн×h=⅓×9√3/4×√3=

=3√3×√3/4=3×3/4=9/4=2,25см³