Найдите полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см, образует угол 60 градусов.

Sпол.пов.=Sбок+Sосн.
В основании пирамиды лежит квадрат. Из вершины пирамиды опустим высоту пирамиды. Основание высоты лежит на пересечении диагоналей квадрата. Проведем сечение через боковое ребро и диагональ основания. это сечение пройдет через противоположное ребро.. Образовался треугольник у которого боковые стороны -боковые ребра пирамиды, а основание диагональ квадрата. Боковые стороны наклонены под углом 60°. Следовательно угол при вершине треугольника 60°. Треугольник равносторонний. Значит диагональ квадрата равна 12 см. Вычислим сторону квадрата основания:
12²= a²+a²=2a²
a²= 12²/2
a=√12²/2=12/√2=12·√2/√2·√2=12√2/2=6√2.
Sосн=6√2·6√2=36·2=72(см²).
Так как пирамида правильная площади боковых граней равны.
Sбок.=4·Sбок.гр.
Площадь боковой грани равна половине произведения длин основания и апофемы (апофема -высота боковой грани). Надо вычислить апофему. 
Боковая грань- равнобедренный треугольник. В боковой грани опустим высоту (апофему). Основание высоты делит основание треугольника на  два равных отрезка. рассмотрим треугольник, состоящий из бокового ребра, половины основания и апофемы. Боковое ребро -гипотенуза.
H²a=L²бок.реб.-(a/2)²,    a/2=(6√2)/2=3√2cm.
H²a=12²-(3√2)²,
H²a=12·12-9·2=3·4·3·4-9·2=9(4·4-2)=9·14,
Ha=√9·14=3√14 (cm)
Sбок.реб.=(1/2)·6√2·3√14=·9·√(2·14)=9·√(2·2·7)=9·2√7=18√7(cm²).
Sбок.пов=4·18√7=72√7 (cm²).
Sпол.пов.=Sосн.+Sбок.пов.=72cm²+72√7 (cm²)=72(1+√7)(cm²)