Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 10, а боковое ребро равно √59.

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Его площадь S=a², где а - его сторона. Sосн=10²=100(ед²)

Диагонали квадрата делят его на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольников, и также сами делятся пополам, поэтому АО=СО=ВО=ДО. Рассмотрим полученный ∆АВС, В нём АВ и ВС - катеты, а АМ- гипотенуза. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в √2 больше катета, поэтому АС=10√2(ед)

Так как диагонали квадрата делятся пополам, то АО=СО=10√2/2=5√2(ед)

Рассмотрим ∆АОS. В нём АО и SO- катеты, а АS- гипотенуза. Найдём высоту пирамиды SO по теореме Пифагора:

SO²=АS²-АО²=(√59)²-(5√2)²=59-25×2=

=59-50=9; SO=√9=3(ед)

Теперь найдём объем пирамиды зная площадь основания и её высоту по формуле: V=⅓×Sосн×h=⅓×100×3=100(ед³)