Надо. в равнобедренный треугольник abc (ab=bc) вписана окружность, радиус которой 9см. касательная к окружности параллельна прямой ac, пересекает стороны ab и bc в точках p и t соответственно. известно, что bp=pa=1: 3. вычислить p aptc.

Примем коэффициент отношения ВР:АР равным а 

Тогда ВР=а, АР=3а, АВ=4а

РТ║АС, АВ - секущая при них. ⇒

углы при основаниях ∆ АВС и ∆ ВРТ равны как соответственные, угол В общий. ⇒

∆ АВС~∆ ВРТ. ВР:АВ=1/4⇒

РТ:АС=1/4⇒ 

АС=4РТ

АРТС - трапеция. в неё вписана окружность. Вписать окружность в трапецию можно тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. ⇒

РТ+АС=АР+ТС=6а. 

АС=6а-РТ

РТ:(6а-РТ)=1/4⇒

4РТ=6а-РТ

5РТ=6а—

РТ=1,2а

АС=4,8а

Опустим высоту РН. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший – их полуразности. 

АН =(АС-РТ):2=(4,8а-1,2а):2=1,8а

Из прямоугольного ∆ АРН по т.Пифагора найдем значение а. 

АР²-АН²=РН²

9а²-3,24а²=81⇒ 

5,76а²=81⇒ 

а=√14,0625=3,75

Р=12а=45 см