На стороне ab параллелограмма abcd лежит точка p, а на стороне cd — точка q причем ap: pb =p, dq: qc=q. диагональ ac пересекает отрезок pq в точке k . найти площадь четырехугольника pkcb, если площадь параллелограмма abcd равна s​

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о параллелограммах, диагоналях, отношениях и площадях фигур. Давайте посмотрим на пошаговое решение этой задачи:

1. Нарисуем параллелограмм ABCD и отметим точки P и Q на соответствующих сторонах AB и CD. Также отметим точку K на диагонали AC.

2. Заметим, что так как P лежит на стороне AB, то отношение AP к PB равно p. Аналогично, так как Q лежит на стороне CD, то отношение DQ к QC равно q.

3. Разберемся с отношениями на отрезке AC. Обозначим расстояния точек P и Q до точки K как x и y соответственно. Тогда расстояние от точки K до конца стороны AC будет равно x + y. Заметим, что отрезок AP делит диагональ AC на два прямоугольных треугольника AKP и PKC. Аналогично, отрезок DQ делит диагональ AC на два прямоугольных треугольника DKQ и KQC.

4. Из построения параллелограмма, мы знаем, что площадь параллелограмма равна произведению одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону (AB * высота, опущенная на AB или CD * высота, опущенная на CD). Обозначим высоту, опущенную на AB, как h1, а высоту, опущенную на CD, как h2.

5. Так как площадь параллелограмма равна s, то у нас есть уравнение AB * h1 = s (уравнение для площади ABKP) и CD * h2 = s (уравнение для площади CDKQ).

6. Воспользуемся отношениями AP:PB = p и DQ:QC = q и выразим h1 и h2 через p и q. Заметим, что h1/h2 = (AP/PB) / (DQ/QC) = (AP * QC) / (PB * DQ) = (p * QC) / (q * PB). Таким образом, мы можем выразить h1 и h2 следующим образом: h1 = (p * h2 * PB) / (q * QC) и h2 = (q * h1 * QC) / (p * PB).

7. Подставим найденные выражения для h1 и h2 в уравнения для площади ABKP и CDKQ: AB * h1 = s и CD * h2 = s. Подставим h1 и h2 и приведем уравнения к виду: AB * ((p * h2 * PB) / (q * QC)) = s и CD * ((q * h1 * QC) / (p * PB)) = s.

8. Заметим, что AB * ((p * h2 * PB) / (q * QC)) = AB * (p * h2 * (PB / (q * QC))). Аналогично, CD * ((q * h1 * QC) / (p * PB)) = CD * (q * h1 * (QC / (p * PB))). Приведем уравнения к виду: AB * (p * h2 * (PB / (q * QC))) = s и CD * (q * h1 * (QC / (p * PB))) = s.

9. Разделим оба уравнения на AB * CD: (p * h2 * (PB / (q * QC))) = s / (AB * CD) и (q * h1 * (QC / (p * PB))) = s / (AB * CD).

10. Заметим, что PB и QC в обоих уравнениях встречаются с коэффициентами PB / (q * QC) и QC / (p * PB) соответственно. Мы можем сократить эти коэффициенты, так как (PB / (q * QC)) * (QC / (p * PB)) = 1. Получаем: p * h2 = s / (AB * CD) и q * h1 = s / (AB * CD).

11. Заметим, что площадь четырехугольника PKCB равна сумме площадей прямоугольных треугольников AKP, PKC, DKQ и KQC. Поэтому площади этих треугольников можно представить как h1 * PK / 2, h2 * PK / 2, h1 * (AC - PK) / 2 и h2 * (AC - PK) / 2 соответственно.

12. Подставим найденные значения для h1, h2 и PK: h1 = (p * h2 * PB) / (q * QC), h2 = (q * h1 * QC) / (p * PB) и PK = x + y. Получаем площади треугольников: (p * h2 * PB * (x + y)) / (2 * q * QC), (q * h1 * QC * (x + y)) / (2 * p * PB), (p * h2 * PB * (AC - x - y)) / (2 * q * QC) и (q * h1 * QC * (AC - x - y)) / (2 * p * PB).

13. Просуммируем площади этих треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника PKCB. Получаем следующее уравнение: (p * h2 * PB * (x + y)) / (2 * q * QC) + (q * h1 * QC * (x + y)) / (2 * p * PB) + (p * h2 * PB * (AC - x - y)) / (2 * q * QC) + (q * h1 * QC * (AC - x - y)) / (2 * p * PB).

14. Упростим это уравнение, сократив коэффициенты перед переменными: (h2 * PB * (x + y)) / (2 * QC) + (h1 * QC * (x + y)) / (2 * PB) + (h2 * PB * (AC - x - y)) / (2 * QC) + (h1 * QC * (AC - x - y)) / (2 * PB).

15. Обратим внимание, что в каждом слагаемом есть PB и QC. Сокращаем эти переменные и получаем: (h2 * (x + y)) / 2 + (h1 * (x + y)) / 2 + (h2 * (AC - x - y)) / 2 + (h1 * (AC - x - y)) / 2.

16. Группируем слагаемые: ((h1 + h2) * (x + y)) / 2 + ((h1 + h2) * (AC - x - y)) / 2.

17. Заметим, что (h1 + h2) это высота, опущенная на диагональ AC. Обозначим ее как h. Тогда получаем следующее уравнение: (h * (x + y)) / 2 + (h * (AC - x - y)) / 2.

18. Фактически, это уравнение представляет собой площадь треугольника AKC. Это значит, что площадь четырехугольника PKCB равна площади треугольника AKC.

Таким образом, для нахождения площади четырехугольника PKCB, нам нужно найти площадь треугольника AKC.