На ребре Куба ABCDA1B1C1D1 отметили точку M так, что AM:MB=1:2(рис 6.14). Постройте сечение Куба плоскостью, проходящей через точку M и параллельной плоскости ACC1. Найдите периметр полученного сечения, если ребро Куба a
Для начала построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку M и параллельной плоскости ACC1.
1. На чертеже прямолинейно построим ребро куба ABCDA1B1C1D1.
2. Отмерим по ребру AM расстояние, равное его половине (так как AM:MB = 1:2), и отметим его соответствующим образом. Обозначим эту точку как P.
3. Проведем линию, проходящую через точки M и P.
Теперь посчитаем периметр полученного сечения.
Периметр сечения можно найти, используя формулу для периметра прямоугольника, так как сечение является прямоугольником со сторонами MP (лицо плоскости Куба) и AB (ребро куба).
Периметр прямоугольника = 2 * (длина + ширина)
Длина прямоугольника - это сторона AB ребра куба, равная a.
Ширина прямоугольника - это расстояние между ребром AB и сечением MP, то есть длина отрезка PB или AM.
Находясь на чертеже, измеряем сторону AB и длину MP, и затем с помощью решения простой математической задачи, находим периметр:
Периметр = 2 * (AB + MP)
Однако в конечном ответе мы должны учесть, что AM:MB = 1:2. Поэтому для точного ответа нужно выразить MP через AB и a.
MP = AM - AP (так как AM - AP = MP)
AM:MB = 1:2 (по условию)
Используя пропорцию, получим:
AM/MB = AM/AP = 1/2
Из этой пропорции можем выразить AM через AP:
AM = (1/2) * AP
Теперь подставляем выражение для AM в формулу периметра:
Периметр = 2 * (AB + MP) = 2 * (AB + AM - AP)
Так как AM = (1/2) * AP, можно переписать формулу периметра так:
Периметр = 2 * (AB + (1/2) * AP - AP)
Теперь можно сократить и упростить формулу:
Периметр = 2 * (AB - (1/2) * AP)
Периметр = 2 * AB - AP
Также мы знаем, что AB = a, поэтому можем еще раз переписать формулу:
Периметр = 2 * a - AP
Итак, периметр полученного сечения равен 2 * a - AP. Чтобы получить окончательный ответ, нужно найти значение AP.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике AMP.
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в данном случае, квадрат AB) равен сумме квадратов катетов (в данном случае, квадратов AM и MP):
AB^2 = AM^2 + MP^2
Подставляем выражения для AM и MP из пропорции AM:MB = 1:2:
1. На чертеже прямолинейно построим ребро куба ABCDA1B1C1D1.
2. Отмерим по ребру AM расстояние, равное его половине (так как AM:MB = 1:2), и отметим его соответствующим образом. Обозначим эту точку как P.
3. Проведем линию, проходящую через точки M и P.
Теперь посчитаем периметр полученного сечения.
Периметр сечения можно найти, используя формулу для периметра прямоугольника, так как сечение является прямоугольником со сторонами MP (лицо плоскости Куба) и AB (ребро куба).
Периметр прямоугольника = 2 * (длина + ширина)
Длина прямоугольника - это сторона AB ребра куба, равная a.
Ширина прямоугольника - это расстояние между ребром AB и сечением MP, то есть длина отрезка PB или AM.
Находясь на чертеже, измеряем сторону AB и длину MP, и затем с помощью решения простой математической задачи, находим периметр:
Периметр = 2 * (AB + MP)
Однако в конечном ответе мы должны учесть, что AM:MB = 1:2. Поэтому для точного ответа нужно выразить MP через AB и a.
MP = AM - AP (так как AM - AP = MP)
AM:MB = 1:2 (по условию)
Используя пропорцию, получим:
AM/MB = AM/AP = 1/2
Из этой пропорции можем выразить AM через AP:
AM = (1/2) * AP
Теперь подставляем выражение для AM в формулу периметра:
Периметр = 2 * (AB + MP) = 2 * (AB + AM - AP)
Так как AM = (1/2) * AP, можно переписать формулу периметра так:
Периметр = 2 * (AB + (1/2) * AP - AP)
Теперь можно сократить и упростить формулу:
Периметр = 2 * (AB - (1/2) * AP)
Периметр = 2 * AB - AP
Также мы знаем, что AB = a, поэтому можем еще раз переписать формулу:
Периметр = 2 * a - AP
Итак, периметр полученного сечения равен 2 * a - AP. Чтобы получить окончательный ответ, нужно найти значение AP.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике AMP.
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в данном случае, квадрат AB) равен сумме квадратов катетов (в данном случае, квадратов AM и MP):
AB^2 = AM^2 + MP^2
Подставляем выражения для AM и MP из пропорции AM:MB = 1:2:
AB^2 = ((1/2) * AP)^2 + MP^2
Упрощаем:
AB^2 = (1/4) * AP^2 + MP^2
Подставляем выражение для MP:
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (AM - (1/2) * AP)^2
Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (AP - (1/2) * AP)^2
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (AP - AP/2)^2
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (AP/2)^2
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (1/4) * AP^2
AB^2 = (1/4) * AP^2 + (1/4) * AP^2
AB^2 = (1/2) * AP^2
Теперь решаем уравнение относительно AP:
AB^2 = (1/2) * AP^2
AB^2 = AP^2 / 2
Умножаем обе части уравнения на 2:
2 * AB^2 = AP^2
Теперь находим AP:
AP = √(2 * AB^2)
Итак, вычисляя периметр по формуле:
Периметр = 2 * a - AP
и подставляя значение AP:
Периметр = 2 * a - √(2 * AB^2)
Окончательный ответ:
Периметр полученного сечения равен 2 * a - √(2 * AB^2).