На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке o. докажите, что co – биссектриса прямого угла с.

Вот такое нахальное решение. Ну уж простите :)

Пусть катеты a и b, гипотенуза с. Я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая  отрезок а от вершины. 

(Пояснение.

Построенный со стороной (a + b) с вершинами АBCD, А - "левая нижняя" вершина. От А вверх - вдоль АВ, откладывается а, потом от В вправо - вдоль ВС откладывается а, потом от С вниз, вдоль CD, откладывается а, и от D вдоль DA откладывается а.)

Все эти точки соединяются.

Получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).

Ясно, что центры этих квадратов совпадают. Это автоматически доказывает то, что надо в задаче.

(Если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство. 

На самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. Поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. Ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. Этих треугольников там даже четыре, а не один :), можно любой выбрать за исходный.)