Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює φ. радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює d. визначити радіус кола, вписаного в даний трикутник.

Основание треугольника - b, боковые стороны- а,
Для любого треугольника верна теорема синусов: а/sin Ф =2d, 
значит а=2d*sin Ф
Также угол  при основании равнобедренного треугольника cos Ф = b/2a, откуда
b=2a* cos Ф =2*2d*sin Ф* cos Ф=4d*sin Ф* cos Ф=2d sin 2Ф

радиус круга, вписанного в данный треугольник 
r=b/2*√(2a-b)/(2a+b)=
=2d sin 2Ф/2 * √(2*2d sin Ф - 2d sin 2Ф)/(2*2d sin Ф + 2d sin 2Ф)=
=d sin 2Ф *√(2 sin Ф - sin 2Ф)/(2 sin Ф +  sin 2Ф)=
=d sin 2Ф *√(2 sin Ф - 2sin Ф cos Ф)/(2 sin Ф + 2 sin Ф cos Ф)=
=d sin 2Ф *√(1- cos Ф)/(1+ cos Ф)=d sin 2Ф *√tg² (Ф/2)=d sin 2Ф *tg (Ф/2)=
=d*2sin Ф cosФ*(1-cos Ф)/sin Ф=2d*cosФ*(1-cos Ф)