Как доказать что длинна стороны прямо пропорциональна углу, лежащему напротив?

Утверждение не вполне верно.

Верно утверждение  о том, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. А сторона, при этом, прямо пропорциональна не углу, а синусу угла - это большая разница.

Последнее  выражается из теоремы синусов :

а=sin(A)*2*R

Здесь а -стона напротив угла А, а  R - радиус описанной окружности.

(доказательство теоремы очень простое, но думаю, здесь не нужно)