E
B
и
A А
с
Дано: AD І ВС; СЕ І АВ.
Доказать: AABC D ADBE.​

Дано AD І ВС; СЕ І АВ

Для начала установим, что AD І ВС означает, что отрезок AD параллелен отрезку ВС, а СЕ І АВ означает, что отрезок СЕ параллелен отрезку АВ.

Для доказательства того, что AABC D ADBE, нужно показать, что эти две фигуры являются параллелограммами.

1. Пусть M и N - точки пересечения отрезков AD и ВС, а K и L - точки пересечения отрезков СЕ и АВ (см. рисунок).
Тогда по определению параллелограмма, AMNB и CEDK являются параллелограммами.

C_______E
| /
| /
| /
| /
A_______B
| | |
M________
\ |
\ |
\|
D

2. Также, по определению параллелограмма, стороны АМ и BN параллельны, а также стороны АK и CL параллельны.
То есть, AM || BN и AK || CL.

3. Рассмотрим треугольники AED и ABM.
У этих треугольников есть следующие пары параллельных сторон:
AE || AB (по условию)
и
DE || BM (по свойству параллелограмма)

Если у треугольников есть две пары параллельных сторон, это означает, что треугольники подобны (по свойству угла-параллельной проекции).
То есть, треугольники AED и ABM подобны.

4. Рассмотрим также треугольники DBE и BAC.
У этих треугольников имеются следующие пары параллельных сторон:
ED || CB (по свойству параллелограмма)
и
BE || AC (по условию)

Аналогично предыдущему пункту, у треугольников DBE и BAC есть две пары параллельных сторон, что говорит о их подобии.

5. Если два треугольника подобны, то их соответствующие углы равны.
То есть, углы AED и ABM равны, и углы DBE и BAC равны.

Таким образом, нами было показано, что AED подобен ABM и DBE подобен BAC.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие им углы равны. То есть, углы AED и ABM равны, и углы DBE и BAC равны.

Теперь рассмотрим параллелограммы AMNB и CEDK.
Параллелограмм AMNB имеет углы AED и ABM, которые мы только что доказали равными.
Также, параллелограмм CEDK имеет углы DBE и BAC, которые также равны.

Исходя из этого, мы можем заключить, что параллелограммы AMNB и CEDK имеют равные углы, то есть они подобны.
Как мы знаем, параллелограммы, которые подобны, имеют одинаковый размер и форму.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что AABC и ADBE являются параллелограммами, так как они подобны и имеют одинаковые углы.

Доказательство завершено.