ДЗ 1) Дана простая замкнутая ломаная ABCD, BC = AD = 10 дм, 2 ACB = 2 CAD, AB = 8 дм. Найдите длину ломаной ABCD.
2) Дан отрезок AD. В одной полуплоскости относительно прямой AD лежат точки В и С такие, что 2 BAD = 2 CDA.
2 ВАС = 2 CDB. Найдите длины отрезков AC и CD, если AB = 5 см, BD = 6 см.
3) В треугольнике ABC с периметром 54 см медиана АК перпендикулярна стороне BC, а высота ВМ составляет
равные углы со сторонами BA и BC. Найти стороны треугольника ABC.
4) В треугольнике ABC проведена медиана АМ . На стороне AC взята точка К. Прямые ВК и AM перпендикулярны,
и прямая ВК делит медиану AM пополам. Докажите, что ВС = 2AB.
5) В треугольнике ABC биссектриса АК перпендикулярна медиане BM. Найдите периметр треугольника ABC,
если AB = 6 см, ВС = 8 см.

Добрый день!

Давайте решим поставленные задачи по порядку.

1) По условию задачи, ломаная ABCD замкнутая, значит, конечный пункт D является начальным пунктом.
Заметим, что из условия BC = AD и BCDA - замкнутая ломаная, следует, что ABCD - прямоугольник.
Также из условия 2 ACB = 2 CAD следует, что треугольники ABC и DCA являются равнобедренными.
Знаем, что AB = 8 дм, поскольку ABC является прямоугольным, то мы можем применить теорему Пифагора:
AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(8^2 + 10^2) = sqrt(164) дм = 2 sqrt(41) дм.
Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то CD = AB = 8 дм.
Тогда длина ломаной ABCD равна AC + CD = 2 sqrt(41) дм + 8 дм = 2 sqrt(41) дм + 8 дм.

2) По условию задачи, отрезок AD уже имеется и разделен на два отрезка AB и BD.
Знаем, что AB = 5 см и BD = 6 см. По условию, 2 BAD = 2 CDA и 2 ВАС = 2 CDB.
Так как в треугольнике противоположные углы одинаковой величины, то треугольники ABD и CAB являются подобными.
Также треугольники BAC и CBD - подобные, так как 2BAD = 2CDA и 2 BAC = 2 BCA.
Можно применить теорему подобия треугольников:
AC/AB = CD/BD, где AC и CD - стороны подобных треугольников BAC и CBD соответственно, а AB и BD - стороны подобных треугольников ABD и CAB соответственно.
AC/5 = CD/6.
Мы знаем, что AC + CD = AD = AB + BD = 5 + 6 = 11.
Подставляем известные значения в уравнение и находим AC и CD:
AC/5 = (11 - AC)/6.
6AC = 5(11 - AC).
6AC + 5AC = 55.
11AC = 55.
AC = 5 см.
Тогда CD = AD - AC = 11 - 5 = 6 см.

3) По условию задачи, медиана АК перпендикулярна стороне BC и медиана ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС.
Значит, треугольник ABC является равнобедренным со основанием ВС.
Знаем, что периметр треугольника ABC равен 54 см. Пусть BC = x, тогда AC = 54 - 2x.
Медиана делит основание пополам, значит, BM = MC = x/2. Заметим, что треугольники BAC и BMC равнобедренные.
Так как высота ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС, то по теореме о высоте в равнобедренном треугольнике, высота является медианой.
Тогда AM является медианой в треугольнике ABC, а значит, AM делит BC на две равные части.
Пусть AK = x, тогда КМ = МC = BC/2 = x/2.
Из равнобедренных треугольников BAC и BMC получаем:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB * BC * cos(ВАС) = AB^2 + BC^2 - 2AB * BC * cos(ВМС) = MC^2 + BM^2 - 2MC * BM * cos(ВАМ) = x^2/4 + x^2/4 - 2(x/4) * (x/2) * cos(ВАМ) = x^2/2 - x^2/8 = 54^2/4.
Подставляем известные значения и решаем уравнение:
x^2/8 = 54^2/4 - 54^2/2 = 54^2/8.
x^2 = 54^2.
x = 54.
Тогда стороны треугольника ABC равны: BC = x = 54 см, AC = 54 - 2x = 54 - 108 = -54 см (так как AC является отрицательной, то треугольник не существует), AB = 54 - 54/2 = 54 - 27 = 27 см.

4) Пусть AM = x, тогда MC = x (так как ВМ является медианой, то М является серединой BC) и BC = 2x.
По условию, ВК и AM перпендикулярны и ВК делит медиану AM пополам.
Тогда ВМК является прямоугольным треугольником.
Так как BC = 2x, AB = BC/2 = 2x/2 = x.
Также, так как ВК делит медиану AM пополам, то МК = КА = AM/2 = x/2.
Мы должны доказать, что BC = 2AB, то есть 2x = 2x, что является верным утверждением.

5) По условию задачи, биссектриса АК перпендикулярна медиане BM.
При этом стороны треугольника, на которых они лежат, должны быть равными или пропорциональными.
Мы знаем, что AB = 6 см и ВС = 8 см.
То есть сторона BA (AB) и BC (ВС) должны быть пропорциональными, потому что если бы они были равными, то треугольник был бы равносторонним, что противоречит условию задачи.
Пусть AB = 6x и ВС = 8x, где x - коэффициент пропорциональности.
Теперь периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 6x + 8x + AC = 14x + AC.
Заметим, что AM и BM являются медианами треугольника ABC, значит, периметр треугольника ABC равен удвоенной сумме отрезков AM и BM.
То есть 14x + AC = 2(AM + BM).
Так как биссектриса АК перпендикулярна медиане BM, значит, треугольники ABK и CBM являются равнобедренными.
Тогда AK/AB = CK/BC, где AK и CK - стороны подобных треугольников ABK и CBM соответственно, а AB и BC - стороны подобных треугольников ABK и CBM соответственно.
AK/6x = (14x - AC)/8x.
8xAK = 6x(14x - AC).
8AK = 84x - 6AC.
Из предыдущего уравнения 14x + AC = 2(AM + BM) следует, что AC = 2(AM + BM) - 14x.
Тогда 8AK = 84x - 6(2(AM + BM) - 14x).
8AK = 84x - 12(AM + BM) + 84x.
8AK = 168x - 12(AM + BM).
Так как AM + BM = AB = 6x, получаем:
8AK = 168x - 12(6x) = 168x - 72x = 96x.
AK = 12x.
Теперь подставляем второй коэффициент пропорциональности AK = 12x в уравнение 14x + AC = 2(AM + BM):
14x + AC = 2(AM + BM).
14x + AC = 2(12x + 6x).
14x + AC = 2(18x).
14x + AC = 36x.
AC = 22x.
Так как периметр треугольника ABC равен 14x + AC, то периметр треугольника ABC равен 14x + 22x = 36x.
Тогда периметр треугольника ABC равен 36 * 6 см = 216 см.

Это решение должно помочь вам понять и решить задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!