Две окружности имеют внешнее касание. докажите, что отрезок их внешней общей касательной , лежащий между точками касания ,- среднее пропорциональное между диаметрами окружностей.

Пусть окружности с центром О и радиусом R касается внешним образом с окружностью с центром К и радиусом r. 
АВ - отрезок общей касательной. 
Углы ОАВ=КВА=90°,  как радиусы, проведенные к касательной в точку касания. 
Соединим центры окружностей отрезком ОК. 
Из  центра О большей окружности проведем параллельно АВ прямую до пересечения с диаметром меньшей окружности в точке Н.
Четырехугольник АОНВ - прямоугольник.
ОН=АВ 
Треугольник ОНК - прямоугольный.
ОК- в нем гипотенуза, ОН и ОК- катеты. 
По т. Пифагора
ОН²=ОК²-КН²
ОК=R+r
KH=R-r
OH²=(R+r)²-(R-r)²
OH²=R²+2Rr+r² -R²+2Rr-r²
OH²=2Rr+2Rr
OH²=4Rr=2R*2r=D*d, что и требовалось доказать.