Докажите свойство медиан треугольника, используя векторный метод нахождения отношения длин отрезков.

Я не знаю, что это за "метод", наверно, опять в минобразе что-то придумали. Но с векторов свойство медианы я бы так доказывал.
Пусть есть два вектора a и b, которые полностью определяют треугольник со сторонами a и b (эти стороны "выходят" из общей вершины). Если соединить конец вектора a с серединой вектора b, то получится вектор m, соответствующий медиане m к стороне b. Точно также строится медиана n к стороне a.
Очевидно, что m = b/2 - a; n = a/2 - b;
Пусть точка пересечения медиан делит медиану m в пропорции k/(1 - k); а медиану n в пропорции p/(1 - p);
Тогда  a + km = b + pn; так как у этих векторов совпадают начало и конец :).
a + k(b/2 - a) = b + p(a/2 - b);
или a(1 - k - p/2) = b(1 - p - k/2);
Вот это соотношение и было нужно, из него все получается автоматически.
Поскольку a и b - ненулевые и неколлинеарные вектора, то
1 - k - p/2 = 0;
1 - p - k/2 = 0;
решение этой простенькой системы k = p = 2/3;
То есть точка пересечения двух медиан делит их в пропорции 2/1;
(Само собой, и третья медиана тоже проходит через эту же точку).