Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

В ромбе все стороны равны.
Значит, треугольники ABC и СDA, составляющие ромб ABCD, - равнобедренные.
Площадь треугольника равна S = 1/2 a*h, где а = |АС| - основание/, которое является диагональю ромба, а h - высота, являющаяся частью второй диагонали - BD.
Треугольники ABC и СDA равны по 3 сторонам (боковые стороны = стороны ромба равны, а основание = диагональ ромба - общее) .
Поэтому площадь этих треугольников равна, и, следовательно, высоты тоже равны. Т. е. h = 1/2|BD|.
Тогда S(ABCD) = 2S(ABC) = 2*1/2*|AC|*1/2|BD| = 1/2|AC|*|BD|