. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете
равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое боль.
ше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной
к гипотенузе.​

Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где AB = AC.

1. Построим квадрат на катете BC. Пусть сторона квадрата равна a, тогда площадь квадрата равна S1 = a^2.

2. Построим квадрат на гипотенузе AB. Пусть сторона квадрата равна b, тогда площадь квадрата равна S2 = b^2.

3. Построим высоту CD, проведенную к гипотенузе AB.

4. Обозначим точку E - середина гипотенузы AB, а точку F - точка пересечения высоты CD с гипотенузой.

5. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота CD является медианой и равна половине гипотенузы AB. Значит, CF = FD = b/2.

6. Из прямоугольности треугольника ACF следует, что AD = b/2.

7. Так как CE является высотой, то треугольник CDE прямоугольный. Значит, используя Пифагорову теорему, получаем: DE^2 + CD^2 = CE^2.
Заменяем значения: (b/2)^2 + CD^2 = (a/2)^2.

8. Так как AD = b/2 и AE = a/2, то AC = AD + CE = b/2 + CD.
Заменяем значения: AC^2 = (b/2 + CD)^2.

9. Раскрываем квадрат на правой части: AC^2 = (b/2)^2 + 2 * (b/2) * CD + CD^2.

10. Подставляем AC^2 в выражение из пункта 7: (b/2)^2 + CD^2 = (a/2)^2.
Заменяем значения: (b/2)^2 + 2 * (b/2) * CD + CD^2 = (a/2)^2.

11. Вычитаем из обеих частей уравнения CD^2: (b/2)^2 + 2 * (b/2) * CD = (a/2)^2 - CD^2.

12. Факторизуем в левой части уравнения: (CD + b/2)^2 = (a/2)^2 - CD^2.

13. Раскрываем квадрат на левой части: CD^2 + 2 * (b/2) * CD + (b/2)^2 = (a/2)^2 - CD^2.

14. Упрощаем выражение: CD^2 + b * CD + b^2/4 = a^2/4 - CD^2.

15. Переносим все слагаемые с CD на одну сторону: 2 * CD^2 + b * CD - a^2/4 + b^2/4 = 0.

16. Домножаем обе части уравнения на 4: 8 * CD^2 + 4 * b * CD - a^2 + b^2 = 0.

17. Группируем слагаемые: (8 * CD^2 + 4 * b * CD) - (a^2 - b^2) = 0.

18. Используем формулу разности квадратов: (8 * CD^2 + 4 * b * CD) - ((a + b) * (a - b)) = 0.

19. Упрощаем выражение: (CD + 2 * b)(CD - 2 * a) = 0.

20. Так как стороны треугольника не могут быть отрицательными, решением уравнения CD + 2 * b = 0 или CD - 2 * a = 0 будет только CD = 2 * a.

Теперь, когда мы знаем значение высоты CD, мы можем найти площадь квадрата, построенного на высоте.

21. Площадь квадрата, построенного на высоте, равна S3 = (2 * a)^2 = 4 * a^2.

Используя полученные значения S1 = a^2 и S3 = 4 * a^2, мы можем сравнить их площади.

22. Чтобы сравнить площади квадратов, построенных на катете и высоте, найдём их отношение: S1/S3 = (a^2)/(4 * a^2).

23. Сокращаем выражение: S1/S3 = 1/4.

Значит, площадь квадрата, построенного на катете, вдвое меньше площади квадрата, построенного на высоте. Доказательство завершено.