Докажите, что четырехугольник abcd с вершинами в точках a(2; 1),b(5; -3),c(9; 0),d(6; 4) является квадратом

Чтобы доказать, что четырехугольник abcd является квадратом, мы можем проверить, соответствуют ли его стороны и углы определенным свойствам квадрата.

1. Проверка сторон:
Сначала найдем длины сторон ab, bc, cd, da с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:
Длина стороны = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Для стороны ab:
x1 = 2, y1 = 1
x2 = 5, y2 = -3
Длина стороны ab = √((5 - 2)² + (-3 - 1)²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Аналогично, найдем длины сторон bc, cd, da:
Длина стороны bc = √((9 - 5)² + (0 - (-3))²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Длина стороны cd = √((6 - 9)² + (4 - 0)²) = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Длина стороны da = √((2 - 6)² + (1 - 4)²) = √((-4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Все стороны имеют одинаковую длину, равную 5. Это означает, что четырехугольник abcd является равносторонним.

2. Проверка углов:
Чтобы доказать, что углы четырехугольника abcd равны 90 градусам, мы можем использовать свойство перпендикулярных прямых.
Возьмем две стороны ab и bc, и найдем их коэффициенты наклона. Коэффициент наклона прямой определяется как отношение изменения y к соответствующему изменению x.

Коэффициент наклона прямой ab = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-3 - 1) / (5 - 2) = (-4) / 3
Коэффициент наклона прямой bc = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - (-3)) / (9 - 5) = 3 / 4

Если прямые перпендикулярны, то их коэффициенты наклона должны быть противоположными и взаимообратными. В данном случае:

(-4) / 3 * 3 / 4 = -1

Полученное значение равно -1, что подтверждает, что прямые ab и bc взаимоперпендикулярны. Аналогично, можно проверить взаимоперпендикулярность прямых bc и cd, cd и da, а также da и ab.

Таким образом, углы между сторонами ab, bc, cd, da равны 90 градусам.

3. Заключение:
Мы проверили, что все стороны четырехугольника abcd равны 5 и углы между ними равны 90 градусам. Исходя из определения квадрата, который имеет все стороны равными и все углы прямыми, мы можем заключить, что четырехугольник abcd является квадратом.