Доказать, что три медианы произвольного треугольника abc пересекаются в одной точке.

Если соединить концы двух медиан, то получится средняя линяя, которая равна половине основания и параллельна ему ("основанием" названа сторона, из концов которой выходят медианы). Поэтому подобны два треугольника, вершины которых - в точке пересечения медиан, а сторонами являются - основание и два отрезка медиан (у одного) и средняя линия и два других отрезка медиан (у второго тр-ка). То есть стороны одного в два раза больше сторон другого. Поэтому точка пересечения медиан делит каждую медиану в пропорции "два к одному". А это означает, что эта точка не зависит от выбора пары медиан, то есть все три медианы проходят через одну точку.