Диагонали трапеции abcd пересекаются в точке о. описанные окружности треугольников аов и cоd второй раз пересеклись в точке м. прямая ом пересекает окружности, описанные около треугольников вос и aоd, в точках к и l соответственно. докажите, что м - середина отрезка kl

На чертеже все обозначения и дополнительные построения. Я пронумеровал окружности, чтобы не писать каждый раз "окружность, описанная вокруг..."
1) Точка K соединяется с B и C, точка L - с A и D;
BC II AD => ∠BDA = ∠DBC;
∠CKO = ∠CBO; как вписанные в окружность 3;
∠ALO = ∠ADO; как вписанные в окружность 4;
=> ∠ALK = ∠ CKL
(это тот же угол, что и ∠CKO, я сразу предупреждаю, что надо внимательно следить за тем, какие объекты соответствуют обозначениям)
=> KC II LA; совершенно аналогично через пару углов ∠OAD = ∠OCB; и равные им углы ∠KLC и ∠BKL доказывается KB II LD;
2) Если продлить KB, KC, LD и LA (если нужно, тут возможны варианты, в случае, изображенном на чертеже, продлевать LA не нужно) до взаимного пересечения, то получится параллелограмм KNLP;
Точка N лежит на окружности 1, потому что
∠ANB = ∠ALD (так как KN II LD)
а ∠BOA = 180° - ∠AOD = (поскольку четырехугольник AOLD вписан в окружность 4) = 180° - (180° - ∠ALD) = ∠ALD;
То есть хорда AB окружности 1 видна из точек O и N под одинаковым углом. Поэтому они лежат на одной окружности 1.
По пути я доказал, что ∠BOD = ∠COD = ∠ALD (все эти углы составляют 180° в сумме с ∠AOD); Поскольку ∠KPL + ∠ALD = 180° (так как KP II LA), то четырехугольник CODP вписан в окружность 2, и точка P лежит на ней.
3) Теперь я проведу из точки N прямую NM до пересечения с окружностью 2 в точке P1. (Её нет на чертеже, и сейчас станет ясно, почему.)
∠ANM = 180° - ∠AOM = ∠MOC = 180° - ∠CP1M; то есть AN II CP1; поскольку через точку C можно провести только одну прямую, параллельную AN, точка P1 совпадает с P.
4) Таким образом, доказано, что диагональ NP параллелограмма KNLP проходит через вторую общую точку окружностей 1 и 2, то есть через точку M.
Разумеется, M - середина второй диагонали KL (точка пересечения диагоналей параллелограмма), что требовалось доказать, и одновременно - середина NP.