Диагонали четырехугольника аbcd взаимно перепендикулярны, ас=12, bd=15. найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника - это прямоугольник, у которого стороны в два раза меньше заявленных диагоналей. Т.о. площадь равна 6 * 7,5 = 45 кв.см. 
Это если только решить. Если доказывать, то я бы доказывала через подобие треугольников: Пусть середины отрезков АВ, CD и тд. - M, N, O, P.  Тогда треугольник MBN подобен треугольнику АВС (угол В общий, AM=MB, BN=NC). AB:MB=AC:MN - из подобия. => MN=AC/2. Итак с 4мя треугольниками надо поступить. 
Далее, чтобы доказать, что это прямоугольник, нужно обратиться к тому, что MN, NO и тд. параллельны AC и BD, которые между собой перпендикулярны.