Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3.0.4), B(4.6.-1), С(2.8.2), D(0,4,8). Средствами векторной алгебры найти длину ребра АВ, косинус угла между ребрами AB и AD, средствами векторной алгебры площадь грани ABC, Объем пирамиды. Варианты ответов:
1. 16
2. V62
3. 747
4. Ничего из вышеперечисленного

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3.0.4), B(4.6.-1), С(2.8.2), D(0,4,8). Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра АВ.

Находим вектор АВ: (4-3; 6-0; -1-4) = (1; 6; -5).

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Длина АB = √(1² + 6² + (-5)²)  = √(6 + 36 + 25) = √67.

2) косинус угла между ребрами AB и AD.

Вектор АВ найден и равен (1; 6; -5).

Находим координаты вектора AD по точкам A(3; 0; 4 и D(0; 4; 8).  

AD = (0-3; 4-0; 8-4) = (-3; 4; 4).

Находим косинус угла между векторами AB и AD по формуле:

cos φ = | s · q || s |·| q | =

= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx2 + sy2 + sz2) · √(qx2 + qy2 + qz2)) =

= | 1· (-3) + 6 · 4 + (-5) · 4 |/(√(12 + 62 + (-5)2) · √((-3)2 + 42 + 42)) =

= | -3 + 24 - 20 |/(√(1 + 36 + 25) · √(9 + 16 + 16)) =

= 1/(√62 · √41) =  1/√2542 = √2542/2542 ≈ 0,01983.

φ = arccos 0,01983 = 88,864°.

3) площадь грани ABC.

Она равна половине модуля векторного произведения векторов АB и АC.

Вектор АB найден и равен  (1; 6; -5).

Находим вектор АC по точкам A(3; 0; 4) и С(2; 8; 2)

АС = (2-3; 8-0; 2-4) = (-1; 8; -2).

Находим векторное произведение AВxAС.

 i        j       k|       i        j

1       6     -5|      1       6

-1       8     -2|     -1       8 = -12i + 5j + 8k + 2j + 40i + 6k = 28i + 7j + 14k.

Найден нормальный вектор грани АВС: (28; 7; 14).

Его модуль равен √(28² + 7² + 14²)  = √(784 + 49 +196) = √1029 = 7√21 ≈ 32,078

S = (1/2)*32,078 = 16,039 кв. ед.

4) объем пирамиды.

Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Вектор АВхАС уже найден и равен (28; 7; 14).

Вектор AD тоже найден: AD = (-3; 4; 4).

V = (1/6)(AВxAС)*AD.

ABxAC = 28   7   14

     AD = -3     4    4

            -84 + 28 + 56 = 0.

Это говорит о том, что пирамида вырожденная, так как все вершины лежат в одной плоскости.