Даны четыре точки: а, в, с, d. составить уравнение плоскости abc; a (0, 7, 1), b (2; 1; 5), c (1, 6, 3), d (3; -9; 8) знать косинус угла между координатной лощиной oxy и плоскостью abc. найти расстояние от точки d до плоскости abc.

Хорошо, давайте решим поставленную задачу в несколько шагов:

1. Составление уравнения плоскости ABC:
Для составления уравнения плоскости необходимо использовать точки A, B и C. Пусть A(0, 7, 1), B(2, 1, 5) и C(1, 6, 3).

a) Вектор AB можно получить, вычтя из координат точки B координаты точки A:
AB = (2-0, 1-7, 5-1) = (2, -6, 4)

b) Вектор AC можно получить, вычтя из координат точки C координаты точки A:
AC = (1-0, 6-7, 3-1) = (1, -1, 2)

c) Векторное произведение векторов AB и AC даст нормальный вектор плоскости ABC:
n = AB x AC = (2, -6, 4) x (1, -1, 2) = [(6-4), (4-2), (-2+2)] = (2, 2, 0)

d) Используя координаты точки A и нормальный вектор n, можно составить уравнение плоскости ABC:
2x + 2y + 0z = 2x + 2y = 0

2. Нахождение косинуса угла между плоскостью ABC и координатной плоскостью OXY:
Для этого нам необходимо найти нормаль вектор плоскости ABC и вектор, перпендикулярный координатной плоскости OXY.

a) Нормальный вектор плоскости ABC уже найден в предыдущем шаге: n = (2, 2, 0)

b) Вектор, перпендикулярный координатной плоскости OXY, можно взять вектор (0, 0, 1), так как он направлен перпендикулярно координатной плоскости OXY.

c) Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: cos(theta) = (n · m) / (|n| * |m|), где n и m - векторы, |n| и |m| - их длины.

cos(theta) = (2 * 0 + 2 * 0 + 0 * 1) / (sqrt(2^2 + 2^2 + 0^2) * sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2)) = 0 / (2 * sqrt(2) * 1) = 0

3. Нахождение расстояния от точки D до плоскости ABC:
Для нахождения расстояния от точки до плоскости используется формула: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, x, y и z - координаты точки.

Уравнение плоскости ABC: 2x + 2y = 0, где A = 2, B = 2, C = 0 и D = 0.

Подставим координаты точки D(3, -9, 8) в уравнение плоскости:
2 * 3 + 2 * (-9) + 0 * 8 + 0 = 6 - 18 + 0 = -12.

d = |-12| / sqrt(2^2 + 2^2 + 0^2) = 12 / sqrt(8) = 6 / sqrt(2) = 6sqrt(2) / 2 = 3sqrt(2).

Итак, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 3sqrt(2).