Дан треугольник ABC, K ϵ AC, M ϵ AB, AK : AC = AM : AB = 2 : 7. Через прямую BC проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. 1) Докажите, что KM II α.
2) Найдите длину отрезка BC, если KM = 3 см.

сонда мына жерде не істеу керек

Для того чтобы ответить на вопросы, нам понадобится использовать две важные теоремы: теорему о координатах точек деления и теорему о параллельных прямых и плоскостях.

1) Чтобы доказать, что отрезок KM параллелен плоскости α, мы можем воспользоваться теоремой о параллельных прямых и плоскостях. Согласно этой теореме, если две прямые в плоскости пересекаются при третьей прямой, то они параллельны. В нашем случае треугольник ABC является плоскостью, а прямая KM параллельна прямой BC. Через прямую BC проходит плоскость α, которая не совпадает с плоскостью треугольника ABC. Таким образом, прямая KM параллельна плоскости α.

2) Чтобы найти длину отрезка BC, если KM = 3 см, мы можем использовать теорему о координатах точек деления. Согласно этой теореме, координаты точки деления линии AB в отношении AM : AB = 2 : 7 определяются следующим образом:

x = (2 * xB + 7 * xA) / 9,
y = (2 * yB + 7 * yA) / 9,
z = (2 * zB + 7 * zA) / 9.

Аналогично, координаты точки деления линии AC в отношении AK : AC = 2 : 7 определяются так:

x = (2 * xC + 7 * xA) / 9,
y = (2 * yC + 7 * yA) / 9,
z = (2 * zC + 7 * zA) / 9.

Поскольку KM параллелен BC, координаты точек K и M будут одинаковыми координатами точки B:

xK = xM = xB,
yK = yM = yB,
zK = zM = zB.

Теперь, зная координаты точек B, A и C, мы можем решить систему уравнений, подставив их в две вышеприведенные формулы для нахождения координат точек деления линий AB и AC.

Давайте предположим, что координаты точек A, B и C равны:

xA = 1,
yA = 2,
zA = 3,
xB = 4,
yB = 5,
zB = 6,
xC = 7,
yC = 8,
zC = 9.

Подставляем эти значения в систему уравнений и находим координаты точки K:

xK = (2 * 4 + 7 * 1) / 9 = 15 / 9 = 5/3,
yK = (2 * 5 + 7 * 2) / 9 = 29 / 9 ≈ 3.22,
zK = (2 * 6 + 7 * 3) / 9 = 32 / 9 ≈ 3.56.

Теперь находим длину отрезка BC, используя формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2 + (zC - zB)^2) = √((7 - 4)^2 + (8 - 5)^2 + (9 - 6)^2) = √(3^2 + 3^2 + 3^2) = √27 ≈ 5.2 см.

Таким образом, длина отрезка BC при KM = 3 см составляет примерно 5.2 см.