Дан куб abcda1b1c1d1 укажите угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1

Прямая СД1 - диагональ грани, перпендикулярной заданной грани ВВ1С1.
Их линия пересечения  - ребро СС1.
Угол между СД1и СС1 равен 45 градусов.
Это и будет искомый угол между СД1 и ВВ1С1.

Для того чтобы найти угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1, мы сначала должны определить, какие прямые и плоскости в этом кубе мы имеем.

В данном случае, куб abcda1b1c1 имеет грани, представленные следующим образом:
- Грань a1bcda - это прямоугольник, где сторона a1d1 параллельна стороне b1c1, а сторона ad1d1c параллельна стороне bcc1b1.
- Грань abcd - это также прямоугольник, где сторона ab параллельна стороне cd, а сторона ad параллельна стороне bc.
- Грань bb1c1c - это прямоугольник, где сторона b1c1 параллельна стороне bc, а сторона bb1c1c параллельна стороне abcd.

Теперь нам нужно определить прямую cd1 и плоскость bb1c1.

Прямая cd1 - это линия, которая соединяет вершины c и d1 куба.

Плоскость bb1c1 - это плоскость, которая проходит через грани bb1c1c и содержит сторону bb1c1 этой грани.

Теперь мы можем перейти к определению угла между прямой cd1 и плоскостью bb1c1.

Изобразим куб и его грани согласно данному заданию:
```
b--b1
/| /|
c--c1 |
| a1-|d1
|/ |/
a---d
```
Как видно из рисунка, сторона b1c1 образует прямой угол с плоскостью bb1c1c. Для нахождения угла между прямой cd1 и плоскостью bb1c1, мы можем воспользоваться следующим свойством: угол между прямой и плоскостью равен прямому углу (90°) минус угол между этой прямой и нормалью плоскости (перпендикулярной к плоскости).

Так как прямая cd1 пересекает грань bb1c1c, мы можем взять обратное значение тангенса угла наклона стороны b1c1 к плоскости bb1c1c и использовать его для вычисления угла.

Угол наклона стороны b1c1 к плоскости bb1c1c можно найти как тангенс арктангенса отношения высоты треугольника b1c1h до основания b1h. Для этого возьмем во внимание правильный треугольник b1hb (построенный на грани bb1c1c), где b1h - перпендикуляр, опущенный из b1 на плоскость bb1c1c.

```
b--b1
| /|
| /h|
|/ |
a---d
```
В правильном треугольнике b1hb мы знаем, что угол b1hb равен 90°, а гипотенуза b1h равна высоте треугольника b1c1h. Поэтому мы можем найти угол b1hb с помощью функции арктангенса от отношения высоты b1c1h к основанию b1h:
Угол b1hb = arctan(b1c1h / b1h).

Затем мы можем найти угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1 как 90° минус угол b1hb:
Угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1 = 90° - Угол b1hb.

Таким образом, чтобы вычислить угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1, нужно:
1. Найти угол b1hb, используя формулу arctan(b1c1h / b1h).
2. Вычислить угол между прямой cd1 и плоскостью bb1c1 как 90° минус угол b1hb.

Обратите внимание, что для полного решения задачи требуется знание геометрии и тригонометрии, поэтому мы использовали эти понятия для определения угла между прямой cd1 и плоскостью bb1c1.