Биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав трапеции авсd пересекаются в точке f, биссектрисы углов с и д при боковой стороне сд персекаются в точке g. найдите fg, если средняя линия трапеции равна 21, боковые
стороны- 13 и 15

я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.

Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))

(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))). 

Еще вариант решения, по сути - такой же

 Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 3 соотношения.

z+x+y = b;

z+(13-x)+(15-y) = a;

(a + b)/2 = 21

Складываем и делим на 2.

z = 7

Еще вариант решения - проводим спецальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :)))