Б) Если AM || BP || СК (см. рис. 59), то
АВ
MP
B.
M
P
K
Рис. 59.​

Для начала разберемся с тем, что означают обозначения в данной задаче. В данном случае:

AB - это отрезок, соединяющий точки A и B;
MP - это отрезок, соединяющий точки M и P;
AM || BP || CK - это означает, что прямые AM, BP и CK являются параллельными.

Теперь приступим к решению задачи. Мы должны доказать, что отрезок BP делит отрезки AB и MP пропорционально. Для этого воспользуемся теоремой Талеса.

Теорема Талеса утверждает, что если прямая, проходящая через две параллельные прямые, пересекает две другие прямые, то отрезки, полученные этим пересечением, делятся пропорционально.

Итак, применим теорему Талеса для отрезков AB и MP, которые пересекаются отрезком BP.

Для этого нам необходимо рассмотреть отрезки, возникающие из этого пересечения, и проверить их пропорциональность.

Мы имеем следующие отрезки:
1. AM:MP
2. MB:BP
3. AB:MP

Теперь посмотрим на треугольники, образованные этими отрезками.

Рассмотрим треугольники ABM и MPB. Так как прямые AM и BP параллельны, то углы AMB и MPB, имеющие один и тот же внешний угол, будут равными. Кроме того, треугольники ABM и MPB имеют общий угол MBP.

Таким образом, по признаку подобия треугольников (углы треугольников равны), мы можем утверждать, что треугольники ABM и MPB подобны.

Теперь мы можем записать равенство отношений сторон:

AB:MB = AM:MP.

Однако, мы хотим доказать, что отрезок BP делит отрезки AB и MP пропорционально, то есть что

AB:BP = MP:BP.

Для этого использованное выше равенство нужно преобразовать:

AB:MB = AM:MP,
AB:MB = AB - BM:MP,
AB:BM = AM:MP.

Теперь давайте заметим, что в пропорции AB:BM = AM:MP заданы отрезки, которые составляют стороны треугольника ABM. Так как треугольники ABM и MPB подобны, то отношение длин сторон этих треугольников должно оставаться одним и тем же при всех значениях этих сторон. То есть,

AB:BM = MP:BP,
AB:BP = MP:BM,
AB:BP = MP:BP + PM.

Тут можно заметить, что AM:PM = AB:BP, что значит, что отношение длин отрезков AM и PM равно отношению длин отрезков AB и BP.

Таким образом, мы доказали, что если AM || BP || CK, то AB:BP = MP:BM, что означает, что отрезок BP делит отрезки AB и MP пропорционально.