Апофема правильной треугольной пирамиды равна 39, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60о. Найдите высоту пирамиды.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин остальных двух сторон.

Давайте обозначим основание пирамиды как ABC, где А, В и С - вершины треугольника, а D - вершина пирамиды. Другими словами, АВС - плоскость основания пирамиды.

По условию, апофема пирамиды (также называемая радиусом описанной сферы) равна 39. Пусть М - середина стороны АВ. Тогда отрезок МD является высотой пирамиды, а отрезок MC - половиной бокового ребра пирамиды.

Так как апофема - это радиус описанной сферы, то она является гипотенузой прямоугольного треугольника MCD. Давайте обозначим MC как а, MD как h и CD как b.

Теперь нам нужно использовать условие, что боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Так как треугольник MCD - прямоугольный, то угол MDC (который является углом между боковым ребром и плоскостью основания) также равен 60 градусов.

Заметим, что треугольник MCD является прямоугольным треугольником с углом 60 градусов. Высота h будет являться противоположной стороной к углу 60 градусов, а сторона b будет являться прилежащей стороной к углу 60 градусов.

Применяя тригонометрический закон синусов к треугольнику MCD, мы получим следующее уравнение:

sin(60) = h / 39

Так как sin(60) равно √3/2, можно переписать уравнение следующим образом:

√3/2 = h / 39

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h. Умножаем обе стороны на 39:

39 * (√3/2) = h

31.9 ≈ h

Таким образом, высота пирамиды приближенно равна 31.9.