Ae и bd- биссектрисы в треугольнике abc,которые пересекаются в точке o. найдите отношение ao: oe,если ad=8 см,dc=12 см,ec=10 см.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
СЕ:ЕВ=АС:АВ;
10:ЕВ=20:АВ
По свойству пропорции
20ЕВ=10АВ
АВ=2ЕВ
Пусть ЕВ=х, тогда АВ=2х

AD:DC=AB:BC
8:12=2x:(x+10)
12·2x=8·(x+10)
24x=8x+80
24x-8x=80
16x=80
x=5
ЕВ=5 см
АВ=2х=10 см
ВС=ВЕ+ЕС=5+10=15 см
АС=AD+DC=8+12=20 cм

АО:ОЕ=АВ:ВЕ=10:5=2:1
О т в е т. стороны треугольника 10 см; 15 см; 20 см.
               АО:ОЕ=2:1

Люблю простые и изящные решения, так что прийдется и мне вмешаться.
Смотри рисунок. 
Обозначим все что есть и еще х=АВ и у=ВЕ (это для простоты, чтоб меньше писать- я ленивый)

тогда из треуг. АВЕ и его бисс. ВО-        1)АО/ОЕ=х/у
теперь мысленно или не мысленно "поворачиваем" рисунок (это чтоб понятнее было)  и из треуг. САВ и его бисс. АЕ имеем 2) х/у=20/10       х/у=2
 подставляем это в 1) и имеем
АО/ОЕ=2