9. В прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 вписан квадрат таким образом, что две ее вершины
лежат на гипотенузе, а остальные вершины на разных
катетах. Найдите площадь данного квадрата. В ответе
запишите целую часть полученной десятичной дроби.​

Добрый день! Давайте разберем эту задачу поэтапно.

1. Начнем с построения прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Нарисуем треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты.

A
|\
3 | \ 5
| \
| \
|____\
C 4 B

2. Теперь, чтобы вписать квадрат в треугольник, мы должны сделать так, чтобы две вершины квадрата лежали на гипотенузе треугольника, а остальные две - на катетах. Пусть D и E - две вершины квадрата, лежащие на гипотенузе AB, а F и G - вершины, лежащие на катетах AC и BC соответственно.

A
|\
3 | \ 5
| \
| \ G
F |____\ E
| D \
C 4 B

3. Основываясь на данной конструкции, давайте выразим площадь квадрата через площади треугольников ADC и EBC. Обозначим сторону квадрата через x.

4. Рассмотрим треугольник ADC. Этот треугольник прямоугольный, поскольку AD - одна сторона квадрата, а CD и CA - катеты треугольника ADC. Пусть AD = x, а CD = 3 - x. Тогда площадь треугольника ADC равна:

Площадь ADC = (1/2) * AD * CD = (1/2) * x * (3 - x) = (3/2)x - (1/2)x^2

5. Теперь рассмотрим треугольник EBC. Аналогично, этот треугольник прямоугольный с EB = x и BC = 4 - x. Площадь треугольника EBC равна:

Площадь EBC = (1/2) * EB * BC = (1/2) * x * (4 - x) = 2x - (1/2)x^2

6. Зная площади треугольников ADC и EBC, мы можем выразить площадь квадрата через них. Площадь квадрата равна сумме площадей треугольников.

Площадь квадрата = Площадь ADC + Площадь EBC = (3/2)x - (1/2)x^2 + 2x - (1/2)x^2 = 5x - x^2

7. Теперь нам нужно найти максимальное значение площади квадрата, то есть максимальное значение выражения 5x - x^2. Для этого мы можем использовать метод нахождения вершины параболы.

Для нашей параболы, где a = -1, b = 5 и c = 0, вершина будет находиться по формуле x = -b/(2a). Подставим значения и найдем вершину:

x = -5/(2*(-1)) = 5/2 = 2.5

8. Таким образом, максимальное значение площади квадрата равно:

Площадь квадрата = 5 * 2.5 - (2.5)^2 = 12.5 - 6.25 = 6.25

Ответ: Площадь данного квадрата равна 6 (целая часть полученной десятичной дроби).