3. дан куб abcda1b1c1d1 с ребром 2.

а) докажите, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1.

б) докажите, что плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1.

в) через точку k — середину c1d1 — проведите прямую, перпендикулярную плоскости a1c1d.

г) найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба.

д) в каком отношении, считая от точки k, плоскость a1c1d делит этот отрезок?

a) Для доказательства перпендикулярности прямой a1c1 и плоскости bdd1, мы можем воспользоваться теоремой, согласно которой, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В данном случае, чтобы доказать перпендикулярность прямой a1c1 и плоскости bdd1, мы можем взять прямую a1d и доказать, что она перпендикулярна прямой bc1.

Для этого обратимся к свойствам куба. В кубе все грани и ребра параллельны друг другу, поэтому сторона куба a1b1c1d1 параллельна грани bdd1, и сторона куба a1d параллельна грани bc1.

Таким образом, сторона a1d параллельна прямой bc1, а значит, прямая a1d перпендикулярна прямой bc1.

Затем мы можем воспользоваться определением перпендикулярности, согласно которому, если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они взаимно перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1.

б) Для доказательства перпендикулярности плоскости a1c1d и прямой bd1, мы можем воспользоваться той же теоремой, что и в предыдущем пункте.

Возьмем прямую a1c1 и докажем, что она перпендикулярна прямой bd1.

Для этого обратимся к свойствам куба. В кубе все грани и ребра параллельны друг другу, поэтому грань a1c1d параллельна грани bd1, и прямая a1c1 параллельна прямой bd1.

Таким образом, прямая a1c1 параллельна прямой bd1, а значит, плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1.

в) Чтобы провести прямую, перпендикулярную плоскости a1c1d через точку k — середину c1d1, мы можем воспользоваться тем, что для построения перпендикуляра к плоскости, нужно провести отрезок из точки, лежащей внутри этой плоскости, и соединить эту точку с произвольной точкой, лежащей в этой плоскости.

Итак, для построения прямой, мы проведем отрезок из точки k, проходящий через центр куба (точку o) до любой точки в плоскости a1c1d.

г) Чтобы найти длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Известно, что ребро куба равно 2. Так как проведенная прямая перпендикулярна грани bdd1, то она проходит через центр куба (точку o) и составляет прямоугольный треугольник ocd1.

С помощью теоремы Пифагора, можем вычислить длину отрезка проведенной прямой:
od1^2 = oc^2 + cd1^2
od1^2 = 2^2 + 1^2
od1^2 = 4 + 1
od1^2 = 5

Таким образом, длина отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба, равна √5.

д) Чтобы найти отношение, считая от точки k, в котором плоскость a1c1d делит отрезок, мы можем воспользоваться теоремой о пересечении прямой с плоскостью.

Известно, что точка k является серединой отрезка c1d1. Поэтому, плоскость a1c1d делит этот отрезок пополам.

Таким образом, плоскость a1c1d делит отрезок, проведенный через точку k, пополам.

Ответ:
а) Прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1.
б) Плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1.
в) Проведена прямая, перпендикулярная плоскости a1c1d, через точку k — середину c1d1.
г) Длина отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба, равна √5.
д) Плоскость a1c1d делит отрезок, проведенный через точку k, пополам.