2. Докажите, что плоскости 2x – y + 4z – 20 = 0 и 3x – 14y – 5z + 32 = 0 перпендикулярны.

Добрый день! Рад, что ты интересуешься математикой. Давай разберемся, как можно доказать, что данные плоскости перпендикулярны друг другу.

Для начала, давай найдем нормальные векторы для каждой плоскости. Нормальным вектором для плоскости является вектор, перпендикулярный к ней. В общем виде уравнение плоскости можно представить в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C – это коэффициенты при переменных x, y и z, а D – свободный член. Так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости, он должен быть перпендикулярен ее нормальному вектору, то есть вектору, состоящему из коэффициентов A, B и C.

Для первой плоскости 2x – y + 4z – 20 = 0 нормальный вектор будет вектором (2, -1, 4), так как коэффициенты перед x, y и z соответственно равны 2, -1 и 4.

Аналогично для второй плоскости 3x – 14y – 5z + 32 = 0 нормальный вектор будет вектором (3, -14, -5), так как коэффициенты перед x, y и z соответственно равны 3, -14 и -5.

Теперь давай проверим, перпендикулярны ли эти два вектора. Для этого нам нужно проверить, что их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле: A·B = A₁·B₁ + A₂·B₂ + A₃·B₃, где A₁, A₂, A₃ – координаты вектора A, а B₁, B₂, B₃ – координаты вектора B.

Применяем формулу для наших векторов:
(2, -1, 4)·(3, -14, -5) = 2·3 + (-1)·(-14) + 4·(-5) = 6 + 14 - 20 = 0.

Таким образом, мы получили, что скалярное произведение нормальных векторов для данных плоскостей равно нулю. Из этого следует, что эти две плоскости перпендикулярны друг другу.

Надеюсь, я смог дать подробный и обстоятельный ответ на твой вопрос. Если у тебя остались какие-либо вопросы или нужно показать какие-то дополнительные шаги, пожалуйста, не стесняйся задавать!