2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдит
е высоту пирамиды.​

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о треугольных пирамидах и тригонометрии.

1. По условию задачи, дано, что апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра основания) равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Обозначим апофему как a и угол между апофемой и плоскостью основания как α.


2. По определению, треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник, а высота пирамиды перпендикулярна этому основанию. Обозначим сторону треугольника основания как b и высоту пирамиды как h.

3. Пусть D - середина стороны треугольника основания. Тогда сторона треугольника основания равна двукратному радиусу описанной окружности, вписанной в этот треугольник. Обозначим радиус описанной окружности как R. Зная, что сторона треугольника основания равна b, можем записать, что R = b/2.

4. Расстояние от D до центра пирамиды (вершины) равно апофеме a. Обозначим это расстояние как h'.
По теореме Пифагора в треугольнике DHO (прямоугольная проекция основания пирамиды на плоскость основания), где H - середина стороны треугольника основания, имеем:
h'^2 = R^2 - a^2.

5. Зная, что R = b/2, получаем:
h'^2 = (b/2)^2 - a^2.

6. Заметим, что R - радиус описанной окружности равностороннего треугольника основания, а h' - половина его высоты, так как треугольник основания равносторонний. Значит, h' = h/2.
Подставим это значение в формулу:
(h/2)^2 = (b/2)^2 - a^2.

7. Для дальнейшего решения задачи найдем выражение для b через сторону апофемы. Обозначим сторону равностороннего треугольника основания как l.
В равностороннем треугольнике угол α (между апофемой a и плоскостью основания) равен 30°, а угол β (между биссектрисой равностороннего треугольника и стороной треугольника, параллельной апофеме и лежащей в плоскости основания) равен 60°.
Зная это, можем записать теорему синусов для треугольника АВС (А - вершина пирамиды, B и С - точки пересечения биссектрисы с подписанными сторонами треугольника основания):
l/sin(60°) = a/sin(30°).
Выполняем замену значений:
l/sqrt(3) = a/0.5.
Значит, l = (a/0.5) * sqrt(3) = 2a * sqrt(3).

8. Теперь, зная, что сторона треугольника основания равна l = 2a * sqrt(3), подставим это значение в уравнение (6):
(h/2)^2 = ((2a * sqrt(3))/2)^2 - a^2.
h^2/4 = (12a^2)/4 - a^2.
h^2/4 = 3a^2 - a^2.
h^2/4 = 2a^2.
h^2 = 8a^2.
h = sqrt(8a^2).
h = 2a * sqrt(2).

9. Таким образом, получаем, что высота пирамиды равна 2a * sqrt(2) см.

Таким образом, ответ на данную задачу: высота пирамиды равна 2a * sqrt(2) см.