109. Доказать равенство отрезков AB и DC (рис. 31), если BC = AD, угол DAC = углу BCA.

Для доказательства равенства отрезков AB и DC, мы должны использовать доступные нам сведения о фигуре на рисунке и логические шаги.

На рисунке дан треугольник ABC и точка D, причем BC = AD и угол DAC равен углу BCA.

Для начала, давайте рассмотрим треугольники DAC и BCA. У нас есть две информации:
1. BC = AD (задано)
2. угол DAC = углу BCA (задано)

Согласно теореме углового признака триангуляции, если два треугольника имеют равные углы между соответствующими сторонами, то эти треугольники подобны.

Следовательно, треугольники DAC и BCA подобны.

Исходя из сказанного, мы можем применить отношение подобия треугольников:

AB / BC = DC / AC

Поскольку AB и DC - это две стороны одного и того же отрезка, мы можем записать:

AB / BC = DC / BC

Теперь, заменим BC на AD, используя данную информацию:

AB / AD = DC / AD

Замечаем, что AD находится в обоих дробях в знаменателе. Мы можем сократить AD:

AB / 1 = DC / 1

Поскольку любое число делится на 1, равенство остается непреложным:

AB = DC

Таким образом, мы доказали равенство отрезков AB и DC, используя информацию о длинах сторон треугольников и сведения о подобии треугольников.

Ответ: Линия AB равна линии DC.