10.40. На ребре АВ тетраэдра DABC отметили точку К так, что AK= 2ВК.
Известно, что AB = AC = 13 см, BC = CD = DB = 15 см, AD = 14 см.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К
и перпендикулярной прямой AD. Найдите площадь этого сечения.
​

Добрый день, уважаемый школьник!

Чтобы решить эту задачу, нам нужно построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К и перпендикулярной прямой AD, а затем найти площадь этого сечения.

Давайте начнем с построения сечения. Мы знаем, что AK = 2ВК, поэтому можем найти координаты точки К. Для этого умножим вектор ВК на 2 и прибавим его к координатам точки А.
Пусть координаты точки А будут (0, 0, 0), так как это удобно для наших вычислений. Затем добавим координаты вектора ВК, умноженного на 2.
Вектор ВК = (15, 0, 0), поэтому вектор AK = 2(15, 0, 0) = (30, 0, 0).
Теперь у нас есть координаты точки К: (0 + 30, 0 + 0, 0 + 0) = (30, 0, 0).

Далее построим вектор АD. Координаты точки D в этой задаче уже даны: (0, 14, 0).
Теперь можем посчитать вектор АD, вычтя координаты точки А из координат точки D.
Вектор АD = (0 - 0, 14 - 0, 0 - 0) = (0, 14, 0).

Теперь нам нужно построить перпендикулярную прямую к прямой AD, проходящую через точку К.
Для этого нам понадобится векторное произведение векторов АD и ВК.
Векторное произведение векторов АД и ВК равно: (АДх * ВКz - АДz * ВКх, АДz * ВКх - АДх * ВКz, АДх * ВКу - АДу * ВКх).
Вычислим это: (0 * 0 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0, 0 * 15 - 30 * 0) = (0, 0, 0).
Так как векторное произведение равно нулевому вектору, то прямая, проходящая через точку К, будет перпендикулярна прямой АD.

Теперь мы можем построить плоскость, проходящую через точку К и перпендикулярную прямой АD. В нашем случае эта плоскость будет параллельна плоскости XY, так как координаты точек находятся в плоскости XY.
Пусть параллельная плоскости XY плоскость называется P. Тогда координата z точек, лежащих на этой плоскости, будет равна 0.

Теперь нам нужно найти точки пересечения плоскости P с ребром АВ тетраэдра DABC. Для этого мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точки А и В, в параметрической форме и подставить координату z, равную 0.
Параметрическая форма прямой: x = x1 + t(x2 - x1), y = y1 + t(y2 - y1), z = z1 + t(z2 - z1).
В нашем случае координаты точек А(0, 0, 0) и В(0, 0, 15), поэтому уравнение прямой примет вид: x = 0 + t(0 - 0), y = 0 + t(0 - 0), z = 0 + t(15 - 0).
Уравнение прямой упрощается до: x = 0, y = 0, z = 15t.

Теперь найдем координаты точек пересечения плоскости P с прямой.
Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости P и решим систему уравнений.
x = 0, y = 0, z = 15t.
Подставляем: 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0.
Как видим, все уравнения выполняются, поэтому система уравнений имеет бесконечное количество решений.

Следовательно, плоскость P будет проходить через все точки ребра АВ тетраэдра DABC.

Чтобы найти площадь этого сечения, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника.
Поскольку плоскость P пересекает ребро АВ в точках А и В, то она образует прямоугольный треугольник с основанием АВ.
Следовательно, площадь этого треугольника будет равна (по формуле площади треугольника):
площадь = (основание * высота) / 2.
В нашем случае основание треугольника АВ равно 15 см, а его высота равна 0, так как плоскость P находится в плоскости XY.
Подставим значения в формулу: площадь = (15 * 0) / 2 = 0.

Таким образом, площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К и перпендикулярной прямой АD, будет равна 0.