1. про выпуклый четырёхугольник abcd известно, что ab=5, bc=7, cd=8, ad=9. в треугольники abd и bcd вписаны окружности, касающиеся диагонали bd в точках x и y соответственно. найдите длину отрезка xy. 2. про треугольник abc известно, что ab=10, ac=16, bc=9. на стороне bc выбрана точка d. окружности, вписанные в треугольники abd и acd, касаются отрезка ad в точках x и y. чему равна длина отрезка xy, если a) d — это середина bc? b) d — это точка касания вписанной окружности со стороной bc?

1. XY = 1,5 ед.

2. а)  XY = 3 ед.  б)  XY = 0.

Объяснение:

1. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно

d = p - c, где  р - полупериметр, а "с" - сторона, противоположная вершине.

В нашем случае:

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2 = (14+BD)/2  =>

BX = p - AD = p - 9.  DX = p - AB = p - 5.  =>  

DX -BX = 4. (1)

В треугольнике BCD полупериметр  

р = (BC+CD+BD)/2 = (15+BD)/2  =>

BY = p - CD = p - 8.  DY = p - BC = p - 7.  =>  

DY -BY = 1. (2)

Тогда (1) - (2) = (DX-DY) + (BY-BX) = 3.

Но (DX-DY) = (BY-BX) = XY. Значит 2·XY = 3  =>  

XY = 1,5 ед.

2. a) Для треугольника АВD:  AB = 10 ед, BD = 4,5 ед.

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2  =>

AX = p - BD = p - 4,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 5,5. (1)

Для треугольника АCD:  AC = 16 ед,  CD = 4,5 ед.

В треугольнике ACD полупериметр   =>  

р = (АC+CD+AD)/2  =>

AY = p - CD = p -4,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 11,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 6.

Но (AY-AX) = (DX-DY) = XY. Значит 2·XY = 6  =>  

XY = 3 ед.

б) Для треугольника АВС полупериметр  

р = (АВ+ВC+AC)/2 = 35/2 = 17,5  =>

BD = p - AC = 17,5 - 16 = 1,5.  CD = 17,5 - 10 =7,5.  Тогда

В треугольнике ABD =>

AX = p - BD = p -1,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 8,5. (1)

В треугольнике ACD =>

AY = p - CD = p -7,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 8,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 0.   =>

XY = 0 ед.