1.хорды ав и сd пересекаются в точке е.найдите длину ав,если се=8см,de=9см,а длина ае в два раза больше длины ве 2.окружность с центром о касается сторон ав , вс , ас треугольника авс в точках m , n , k соответственно . найти дуги мк , мn , nk,если угол авс=62 градуса , угол асв=68 градуса 3.окружность с центром о касается сторон mn , nk , mk треугольника mnk в точках a , b , c соответственно . найти дуги ab , bc , ac и углы треугольника авс если угол мnк=72 градуса , угол nkm=64 градус 4.через точку а проведены касательная ав(в-точка касания) и секущая,пересекающая окружность в точках с и е так,что ав=10см,ае=20см.найдите длину ас.(варианты ответов: 5.точка а,в,с лежат на окружности с центром в точке о.дуга ав: дугу ас=2: 3,угол вас=55градусов.чему равен угол аос? (варианты ответов: кто чем может .завтра сдавать,а я не

чем смогу.

Задача 1

1) По теореме о хордах СЕ * ЕД = АЕ * ЕВ

АЕ * ЕВ = 8 * 9

АЕ * ЕВ = 72

2) Пусть ЕВ = х см., тогда АЕ = 2х см.

3) 2х * х = 72

2х² = 72

2х² - 72 = 0

2( х² - 36) = 0 | : 2

х² - 36 = 0

х² = 36

х = 6

3) ЕВ = 6 см., тогда АЕ = 12 см.

4) АВ = ЕВ + АЕ = 6 + 12 = 18 см.

Задача 2

1) По теореме о сумме углов треугольника, угол А = 180° - 62° - 68° = 50°

2) Проведем линии ОВ, ОС, ОА, которые будут являться биссектриссами углов В, С, А соответственно (по св-ву касательных)

Тогда угол МВО = углу NBO = 62° : 2 = 31°

Тогда угол КСО = углу NCO = 68° : 2 = 34°

Тогда угол ОАМ = углу ОАК = 50° : 2 = 25°

3) Проведем радиусы ОМ, ОN, ОК, которые будут перпендикулярны сторонам АВ, ВС, АС соответственно (по св-ву касательных)

4) Рассмотрим прямоугольные треугольники АМО и ОАК

угол ОАК + угол АОК = 90°, тогда угол АОК = 90° - 25° = 65°

угол ОАМ + угол АОМ = 90°, тогда угол АОМ = 90° - 25° = 65°

5) угол МОК = угол ОАК + угол ОАМ = 65° + 65° = 130°

угол МОК = дуге МК (т.к. он центральный)

дуга МК = 130 градусов.

6) Рассмотрим прямоугольные треугольники ОКС и ОNС

угол NOC + угол NСО = 90°, тогда угол NОС = 90° - 34° = 56°

угол КСО + угол СОК = 90°, тогда угол СОК = 90° - 34° = 56 °

7) угол КОN = угол NOC + угол СОК = 56° + 56° = 112°

угол КОN = дуге КN (т.к. центральный)

дуга КN = 112°

8) дуга КN + дуга MN + дуга МК = 360°

дуга MN = 360° - дуга КN - дуга МК = 360° - 112° - 130° = 118°

ответ: дуга МК = 130°, дуга КN = 112°, дуга MN = 118°

Задача 3

1) По теореме о сумме углов треугольника, угол М = 180° - 72° - 64° = 44°

2) Проведем линии ОN, ОМ, ОК, которые будут являться биссектриссами углов N, М, К соответственно (по св-ву касательных)

Тогда угол ANO = углу BNO = 72° : 2 = 36°

Тогда угол ВКО = углу СКО = 64° : 2 = 32°

Тогда угол СМО = углу АМО = 44° : 2 = 22°

3) Проведем радиусы ОА, ОВ, ОС, которые будут перпендикулярны сторонам MN, NK, MK соответственно (по св-ву касательных)

4) Рассмотрим прямоугольные треугольники АМО и ОМС

угол ОМС + угол МОС = 90°, тогда угол МОС = 90° - 22° = 68°

угол ОМА + угол МОА = 90°, тогда угол МОА = 90° - 22° = 68°

5) угол АОС = угол МОА + угол МОС = 68° + 68° = 136°

угол АОС = дуге АС (т.к. он центральный)

дуга АС = 136 градусов.

6) Рассмотрим прямоугольные треугольники СОК и ВОК

угол ВОК + угол ОКВ = 90°, тогда угол ВОК = 90° - 32° = 58°

угол СОК + угол ОКС = 90°, тогда угол СОК = 90° - 32° = 58 °

7) угол ВОС = угол СОК + угол ВОК = 58° + 58° = 116°

угол ВОС = дуге ВС (т.к. центральный)

дуга ВС = 116°

8) дуга ВС + дуга АВ + дуга АС = 360°

дуга АВ = 360° - дуга ВС - дуга АС = 360° - 116° - 136° = 108°

9) угол АВС = ½ дуги АС (т.к. вписанный)

угол АВС = 136° : 2 = 68°

10) угол ВАС = ½ дуги ВС (т.к. вписанный)

угол ВАС = 116° : 2 = 58°

11) угол ВСА = ½ дуги АВ

угол ВСА = 108° : 2 = 54°

ответ: дуга АВ = 108°, дуга ВС = 116°, дуга АС = 136°, угол АВС = 68°, угол ВАС = 58°, угол ВСА = 54°

Задача 4 (другого решения я не нашел)

1) АВ² = АЕ * АС

100 = 20 * АС

АС = 5

ответ: АС = 5 см.

Задача 5

1) угол САВ = ½ дуги ВС (т.к. вписанный)

дуга ВС = 2 угла САВ = 2 * 55° = 110°

2) сумма дуг АС и АВ = 360° - дуга ВС = 360° - 110° = 250°

3) пусть 1 часть = х, тогда АВ = 2х, АС = 3х

3х + 2х = 250

5х = 250 | : 5

х = 50

4) АВ = 2 * 50° = 100°, АС = 3 * 50° = 150°

5) угол АОС = дуге АС (т.к. центральный)

угол АОС = 150°

ответ: угол АОС = 150°