1) Даны точки Р(1; 0; 2), Н (1; ; 3),К ( - 1; 0; 3 ), М ( - 1; -1; 3). Найти угол между векторами РН и КМ.
2) Найти скалярное произведение b(а - 2b ), если |a | = 2, |b | = 4, угол между векторами a и b равен 135°.
3) Длина ребра куба АВСДА1В1С1Д1 равна 2а, точка Р – середина отрезка ВС. Найти :а) расстояние между серединами отрезков В1Д и АР; б)угол между прямыми В1Д и АР; в)угол между прямой Д1 Р и плоскостью АА1В1. ​

Учитель учитывает, что уровень школьника может быть разным, поэтому старается дать подробный и понятный ответ на каждый вопрос.

1) Для нахождения угла между векторами РН и КМ нужно использовать формулу косинуса угла между векторами. Эта формула выглядит следующим образом:

cos α = (РН · КМ) / (|РН| * |КМ|),

где α - искомый угол, РН и КМ - векторы, · - скалярное произведение векторов, |РН| и |КМ| - длины векторов.

Подставим значения векторов:

РН = (1; 0; 3) - (1; 0; 2) = (0; 0; 1),
КМ = (-1; -1; 3) - (1; 0; 2) = (-2; -1; 1).

Вычислим скалярное произведение векторов:

РН · КМ = (0 * -2) + (0 * -1) + (1 * 1) = 1.

Посчитаем длины векторов:

|РН| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1,
|КМ| = √((-2)^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6.

Теперь можем найти угол α:

cos α = (1) / (1 * √6) = 1 / √6,

α = arccos (1 / √6) ≈ 48.19°.

Ответ: угол между векторами РН и КМ примерно равен 48.19°.

2) Для нахождения скалярного произведения b(а - 2b) нужно раскрыть скобки и вычислить скалярное произведение.

Раскроем скобки:

b(а - 2b) = аb - 2b^2.

Используем свойство скалярного произведения векторов: аb = |а| * |b| * cos β, где β - угол между векторами a и b.

Подставим значения:

аb = 2 * 4 * cos 135° = 8 * (-√2/2) = -4√2,

b^2 = |b|^2 = 4^2 = 16.

Теперь можем найти скалярное произведение:

b(а - 2b) = ab - 2b^2 = -4√2 - 2 * 16 = -4√2 - 32.

Ответ: скалярное произведение b(а - 2b) равно -4√2 - 32.

3) а) Длина ребра куба АВСДА1В1С1Д1 равна 2а, а точка Р - середина отрезка ВС. Для нахождения расстояния между серединами отрезков В1Д и АР можно использовать теорему Пифагора в треугольнике.

Обозначим середину отрезка В1Д как М.

Так как ребро АВСДА1В1С1Д1 равно 2а, то длина отрезка ВС равна 2а/2 = а.

Также у нас есть отрезок ВС, в котором серединой является точка Р.

Используем теорему Пифагора в треугольнике В1МД:

(длина В1М)^2 = (длина В1Д)^2 + (длина МД)^2.

Так как В1Д = а/2 и В1М = РМ = а/2, получим:

(а/2)^2 = (а/2)^2 + (длина МД)^2.

Раскроем скобки и упростим выражение:

а^2/4 = а^2/4 + (длина МД)^2.

а^2/4 - а^2/4 = (длина МД)^2.

0 = (длина МД)^2.

Значит, длина отрезка МД равна 0.

Ответ: расстояние между серединами отрезков В1Д и АР равно 0.

б) Угол между прямыми В1Д и АР можно найти, используя формулу для угла между двумя прямыми в пространстве.

Эта формула выглядит следующим образом:

cos α = (|(вектор В1Д) · (вектор АР)|) / (|вектор В1Д| * |вектор АР|),

где α - искомый угол, · - скалярное произведение векторов, |вектор В1Д| и |вектор АР| - длины векторов.

Для начала найдем векторы В1Д и АР:

В1Д = (координаты точки Д) - (координаты точки В1) = (2а; 0; 0) - (а; а; а) = (а; -а; -а),
АР = (координаты точки P) - (координаты точки A) = (а; -а; -а) - (0; 0; 0) = (а; -а; -а).

Теперь найдем скалярное произведение и длины векторов:

(В1Д · АР) = (а * а) + (-а * -а) + (-а * -а) = а^2 + а^2 + а^2 = 3а^2.

|В1Д| = √(а^2 + (-а)^2 + (-а)^2) = √(а^2 + а^2 + а^2) = √3а^2 = √3 * а,
|АР| = √(а^2 + (-а)^2 + (-а)^2) = √(а^2 + а^2 + а^2) = √3а^2 = √3 * а.

Теперь можем найти угол α:

cos α = (3а^2) / (√3а^2 * √3а^2) = (3а^2) / (3а^2) = 1.

α = arccos 1 = 0°.

Ответ: угол между прямыми В1Д и АР равен 0°.

в) Угол между прямой Д1Р и плоскостью АА1В1 можно найти, используя формулу для угла между прямой и плоскостью.

Эта формула выглядит следующим образом:

cos α = (|(вектор прямой Д1Р) · (нормальный вектор плоскости АА1В1)|) / (|вектор прямой Д1Р| * |нормальный вектор плоскости АА1В1|),

где α - искомый угол, · - скалярное произведение векторов, |вектор прямой Д1Р| и |нормальный вектор плоскости АА1В1| - длины векторов.

Для начала найдем вектор прямой Д1Р и нормальный вектор плоскости АА1В1:

Вектор прямой Д1Р = (координаты точки Р) - (координаты точки Д1) = (а; -а; -а) - (2а; 0; 0) = (-а; -а; -а),
Нормальный вектор плоскости АА1В1 = (координаты точки А) - (координаты точки A1) - (координаты точки В1) = (0; 0; 0) - (а; 0; 0) - (0; 0; а) = (-а; 0; -а).

Теперь найдем скалярное произведение и длины векторов:

(Вектор прямой Д1Р · Нормальный вектор плоскости АА1В1) = (-а * -а) + (-а * 0) + (-а * -а) = а^2 + а^2 + а^2 = 3а^2.

|Вектор прямой Д1Р| = √((-а)^2 + (-а)^2 + (-а)^2) = √(а^2 + а^2 + а^2) = √3а^2 = √3 * а,
|Нормальный вектор плоскости АА1В1| = √((-а)^2 + 0^2 + (-а)^2) = √(а^2 + (-а)^2 + а^2) = √(а^2 + а^2 + а^2) = √3а^2 = √3 * а.

Теперь можем найти угол α:

cos α = (3а^2) / (√3а^2 * √3а^2) = (3а^2) / (3а^2) = 1.

α = arccos 1 = 0°.

Ответ: угол между прямой Д1Р и плоскостью АА1В1 равен 0°.